¿A cuánto va?

En física, o en ciencia en general, uno observa el mundo, lo parametriza, y luego trata de reproducirlo. Cogemos unos datos, les aplicamos las ecuaciones correspondientes, sacamos unos valores de ciertos parámetros, y nos preguntamos si tienen sentido. Algunos somos tan frikis que lo hacemos sólo por el gusto de hacerlo, por simple curiosidad. Quien conozca desde hace tiempo este blog, ya lo sabe [1] [2]. Esta es otra de esas entradas. (El que avisa no es traidor)

La ciudad de Salzburgo es conocida por cosas como sus Mozartkugeln, o por Sonrisas y lágrimas. Quizás no sean tan conocidos los Doppler Konfekt

aunque todos en algún momento hemos oído de la razón de su existencia.

Christian Doppler nació en Salzburgo, y fue él quien explicó el efecto que hoy lleva su nombre: el cambio aparente de la frecuencia de un sonido dependiendo de si la fuente del sonido se acerca o se aleja del oyente.

Echar las cuentas es sencillo: Supongamos que estamos en reposo, y un tren se mueve a velocidad V. Al tocar el silbato, produce perturbaciones en la presión del aire de forma periódica. Esto es el sonido. Bueno, pues en un instante dado, el silbato produce una primera perturbación, que se propaga con velocidad Vs. Al cabo de un tiempo T (tiempo de periodicidad de la perturbación), la perturbación se ha propagado una distancia igual a su longitud de onda, λ=VsT; en ese momento, el silbato produce una segunda perturbación. Pero en ese tiempo, el tren ha recorrido una distancia VT.

Si el tren estuviera parado, la distancia entre las dos perturbaciones sería la equivalente a la longitud de onda del sonido que produce. Pero al estar en movimiento, la distancia entre las perturbaciones ha variado, de forma que esta distancia λ' es igual a lo que se ha propagado la primera perturbación, menos lo que ha recorrido el tren (o sumado, según la dirección del tren que estemos considerando). Así, un observador parado sentiría las perturbaciones con una periodicidad T' diferente a las que realmente se producen, generando el efecto de un aumento de frecuencia en el caso de que el tren se acerque o una frecuencia menor, si el tren se aleja.

Con esto, podemos decir que ya sabemos cómo una causa produce un efecto o fenómeno. Esto es lo que podemos llamar ciencia, adquirir conocimiento: si conocemos la velocidad de un móvil, y la frecuencia a la que emite un sonido, podemos predecir cómo se escuchará por alguien parado que vea pasar el móvil.

Pero la parte divertida de la ciencia es la de poder aplicar este conocimiento a una situación real. Pongamos por ejemplo, que oimos cómo el silbato de un tren cambia de frecuencia al pasar cerca de nosotros. ¿A qué velocidad va el tren? ¿Cual es la frecuencia original del silbato?.

La situación es en realidad la inversa de la usada para encontrar la expresión del desplazamiento Doppler: suponíamos conocida la velocidad del móvil y la frecuencia del sonido, y hallábamos cuanto variaba la frecuencia del sonido en función de esos parámetros. Pero, en un caso real simple sólo tenemos acceso a la variación del sonido(el efecto), y no sabemos el valor de los parámetros que lo causan.

Veamos el siguiente video. Es un fragmento del programa "Brainiac", donde muestran el efecto Doppler. Para ello se fueron a la Patagonia, se montaron en un tren y lo hicieron pitar.



El fragmento que nos interesa está en el minuto 5:20. El sonido de ese fragmento se puede representar en un espectrograma, que es un gráfico que muestra el tiempo en el eje x, la frecuencia en el eje y, y en código de colores la intensidad de cada frecuencia en cada instante de tiempo. Es una forma muy visual de ver el efecto Doppler:

Supondremos que el fenómeno por el cual el silbato suena más agudo dentro del tren en movimiento es un fenómeno paranormal, y nos centraremos sólo en el sonido captado por la cámara parada cerca la vía del tren. Es un truco muy útil que uno ha aprendido tras varios años lidiando con las pseudociencias ;)

La variación de frecuencia se ve perfectamente en el espectrograma: una frecuencia (f+) cuando el tren se acerca, y que al pasar por delante, baja de frecuencia hasta (f-). Estos son los datos a los que podemos acceder en una situación real.

¿Cómo deducimos la velocidad del tren?. Si supiéramos la frecuencia original del silbato, sería simple usar la expresión del desplazamiento Doppler, pero es que ese dato tampoco lo conocemos a priori. Así que hay que jugar un poco con la ecuación.

f+ y f- corresponden a las frecuencias de cuando el tren se acerca, y de cuando se aleja, es decir, que:

y si las restamos y las sumamos, podemos llegar a que:

de donde se puede hallar directamente la velocidad del tren. Y una vez conocida la velocidad, entonces sí puede hallar la frecuencia original. En el caso del tren de Brainiac, estos cálculos sencillos nos dan

V=14.8 m/s=53.4 km/h
f₀=549 hz

En el video dicen que el tren va a unos 60 km/h, lo que se acerca más o menos a lo que hemos calculado.

en realidad, si la velocidad del móvil es mucho menor que la velocidad del sonido (V < 0.1·Vs), la frecuencia original se aproxima muy bien a la media artimética entre f+ y f-, es decir f₀=(f+ + f-)/2.

Si esta condición no se cumple, entonces f₀ se acerca más a f- que a f+

Un cálculo más refinado

En el cálculo anterior hemos usado dos valores: la frecuencia cuando el tren se acerca, y cuando el tren se aleja. Son sólo dos puntos experimentales extraidos del espectrograma, pero en realidad, hay mucha más información: no sólo tenemos los valores cuando el tren se halla "lejos" del micrófono, sino que también cuando el tren pasa cerca. El cambio de la frecuencia alta a la baja no es brusco, sino que hay una transición. Bien, pues podemos usar no sólo dos datos, sino todos ellos y reproducir la transición entre f+ y f- para obtener más información.

Claro que para ello, primero hay que darse cuenta de que el efecto Doppler no depende exactamente de la velocidad del móvil, sino de la velocidad relativa entre el móvil y el observador en cada momento de tiempo.

Si el móvil lleva una trayectoria [x(t),y(t),z(t)], entonces la distancia al observador será r(t)=[x(t)²+y(t)²+z(t)²]^1/2. Y entonces la velocidad relativa entre el móvil y el observador será la derivada respecto al tiempo de esta distancia(dr/dt=r'), de forma que:

Nótese que ahora el denominador ahora lleva siempre el signo +. Cuando el móvil se acerque, r' será negativo, y cuando se aleje, r' será positivo, como corresponde con la expresión Doppler original.

Puede que ahora la expresión sea más complicada. Pero a la vez es más potente, porque ahora si suponemos una trayectoria (x,y,z)(t), podemos saber cómo variará en cada instante de tiempo el desplazamiento Doppler.

Volvamos al tren de Brianiac. El desplazamiento del tren es simple: un movimiento rectilíneo uniforme en una dirección (x(t)=V_xt). Y que pasa a una distancia mínima y(t)=y₀ del observador. La componente z nos la comemos (más correctamente, z(t)=0).

En cuanto a las derivadas, x'=V_x, y'=0, z'=0

Ahora, en vez de usar dos puntos de todo el espectrograma, podemos usar la mayoría de ellos, y reproducir la curva del desplazamiento Doppler. Pero antes hace falta determinar el valor de algunos parámetros, a saber: la frecuencia original (f₀, la velocidad del tren V_x, y la distancia y₀. Para ello, existen rutinas para hacer variar los parámetros hasta que conseguir que la curva teórica sea lo más parecida posible a la curva experimental:

En el caso del tren de Brainiac, los parámetros que mejor ajustan la curva teórica al espectrograma nos dicen que la frecuencia original son 547 Hz. Que el tren se desplaza a 16.3 m/s (58.7 Km/h), y que pasó a una distancia de 5.6 metros del micrófono. Comparados con los valores de frecuencia y velocidad calculados por el método simple, vemos que son similares(f=549 hz, v=14.8 m/s). Pero estos son más fiables porque hemos usado la mayoría de los valores representados en un espectrogama, y no sólo dos.

Las rutinas de ajuste suelen indicar también el error que tienen los parámetros. En este caso:
f=547+/-1 Hz, Vx=16.3+/-0.7 m/s, y y0=5.6+/-1.5 m.

Otro caso real

El ejemplo del tren de Brainiac era interesante, porque se podía observar una zona plana, cuando el tren está lo suficientemente lejos del micrófono como para que no se note cómo el sonido pasa de una frecuencia más aguda, a otra más grave. Esto permitía hacer el cálculo simple usando sólo dos valores, y que no se desviaba mucho de un cálculo más refinado usando un ajuste.

Ahora voy a usar otra situación real: un avión a baja cota. De nuevo, suponemos que la trayectoria es rectilínea y uniforme en la dirección x=V_xt, y que pasa a una distancia mínima y₀.

En este caso no se aprecia esa zona plana donde el desplazamiento Doppler es constante, sino que sólo se ve la zona de transición entre f+ a f-. Podríamos estimar a ojo por donde caerían las frecuencias f+ y f-. Pero si queremos un poco más de rigor, hay que irse directamente a la rutina de ajuste, usando la transición visible en el espectrograma. Haciéndolo, encontramos que el avión pasó a una velocidad de 122 m/s, y a una distancia de 1156 metros.

122 m/s son 439 km/h, que en nudos son 244 kt. La velocidad máxima permitida baja cota para aviones es de 250 kt, así que el valor encontrado es razonable.

El sonido lo grabé en un lugar donde los aviones se alinean con la pista de aterrizaje, pero aún no han extendido los flaps, ni han sacado el tren de aterrizaje.

¡Que pasada!

Vamos con otro:




Una pasada a ras de suelo en una exhibición aérea. Si suponemos de nuevo una trayectoria rectilínea uniforme, podemos comprobar que el mejor ajuste posible, no es del todo satisfactorio (línea negra):

A pesar de que el avión se oye desde lejos, no existe una zona "plana", sino que la frecuencia aumenta ligeramente, y por eso el ajuste no es del todo satisfactorio. La gracia de usar un ajuste es que se pueden evaluar tantas trayectorias como puedas parametrizar. Sabemos que el desplazamiento Doppler es mayor cuanto mayor es la velocidad. Así que podemos suponer que el avión está aumentando su velocidad: un movimiento uniformemente acelerado, x(t)=0.5a*t²+V_xt (y entonces, x'(t)=at+V_x)

Repitiendo el ajuste con el parámetro extra (la aceleración), se ve que el ajuste (línea azul) tiene mejor pinta. Por cierto, que el avión llevaba 187 m/s (673 km/h, 374 kt) en el momento que más se acercó al micrófono (a 146 metros de distancia)

American Airlines 11

Confieso que esta curiosidad por el efecto Doppler, y su aplicación en el cálculo de velocidad de móviles me surgió tras ver/oír este video:




Es la grabación de los hermanos Naudet el día 11 de Septiembre del impacto del primer avión. Se puede percibir un efecto Doppler cuando pasa el avión, practicamente por encima de los bomberos y el cámara. Por desgracia, el espectrograma es muy ruidoso, aunque se pueden ver algunos "fragmentos" del desplazamiento Doppler, que se pueden aprovechar para ajustar y obtener la velocidad del avión. Volvemos a una trayectoria rectilínea y uniforme.

El ajuste da que el AA11 pasó a 184 +/- 12 m/s (663 +/- 42km/h, 368 +/-24 kt). Un profesor del MIT usó el mismo video para estimar la velocidad del avión, pero con un método más simple: del vídeo, obtiene el tiempo que tarda el avión entre que (aparentemente) pasa por encima, hasta que choca con la torre. Por otro lado, del tiempo que tarda el sonido del impacto en oirse desde que se ve en las imágenes, deduce la distancia hasta las torres. Así pues, velocidad = espacio / tiempo = 691 km/h. Su estimación no está muy alejada de lo que he podido calcular yo.

El NTSB también estimó la velocidad del AA11 usando los ecos de radar, y les salen 770 km/h, que es más alta de lo que estima el profesor del MIT y yo. Los ecos del radar son aproximadamente cada 5 segundos, y muestran que el avión se acercó acelerándose, y no con una velocidad constante. ¿Cual es el valor correcto (o el menos incorrecto)? Pues no lo sé. Personalmente creo que el NTSB sobreestimó la velocidad, creo que los datos de radar cada 5 segundos dan poca precisión temporal (también desconozco cual es la precisión espacial).

También es cierto que el espectrograma es demasiado ruidoso (y corto también) como para apreciar la aceleración en el efecto Doppler (como en el caso de la pasada a ras de suelo). Lo dejaremos en que tres personas de forma independiente, y con métodos distintos han calculado esos tres valores. Que es lo habitual en ciencia: tratar de replicar resultados de forma independiente, y cuando se tienen muchos datos acumulados, estudiar qué métodos son más rigurosos, establecer qué valores pueden estar sobreestimados, o subestimados, y establecer un valor medio y su error.

En cuanto a la altura a la que pasó el avión, me salen 312 +/- 28 metros, lo que equivale a la altura del piso 80 del WTC (+/- 7 pisos). El AA11 impactó entre los pisos 92 y 93 de la torre norte, a nos 360 metros sobre el suelo sobre el que se elevaba la torre. No he podido hallar la altura del suelo en el lugar donde se grabó el sonido. Posiblemente esté un poco más alto que el lugar donde estaban las torres, pero no creo que tanto como para salvar la diferencia de casi 50 metros. Pero como aproximación, no está mal.

¿Saben que hay personas que creen que este video es un trucaje? A algunas personas les parece muy sospechoso que no se captara ninguna imagen del avión del pentágono. Y también les parece muy sospechoso que alguien pudiera grabar el AA11. Una cosa y la contraria, ambas son sospechosas.

Pues bueno, si el video de los Naudet es una falsificación, y el avión son efectos especiales de ordenador y esas cosas, yo felicitaría a quien la hizo por tener en cuenta estos detalles tan finos y (casi) clavarlos con la versión oficial.