Recuperando artículos

Hoy me ha dado por recuperar unos artículos que en su momento aparecieron en la Circular Escéptica, un boletín on-line del Círculo Escéptico.

Hace ya tiempo que no se editan números nuevos, así que los he colgado en Scribd para tenerlos localizados y disponibles para su lectura. Aquí les dejo los enlaces correspondientes.

11-S: Cómo montar una conspiración

La ciencia es incompatible con la fe

El hueco de dios en la naturaleza

La idea feliz

¿A cuánto va?

En física, o en ciencia en general, uno observa el mundo, lo parametriza, y luego trata de reproducirlo. Cogemos unos datos, les aplicamos las ecuaciones correspondientes, sacamos unos valores de ciertos parámetros, y nos preguntamos si tienen sentido. Algunos somos tan frikis que lo hacemos sólo por el gusto de hacerlo, por simple curiosidad. Quien conozca desde hace tiempo este blog, ya lo sabe [1] [2]. Esta es otra de esas entradas. (El que avisa no es traidor)

La ciudad de Salzburgo es conocida por cosas como sus Mozartkugeln, o por Sonrisas y lágrimas. Quizás no sean tan conocidos los Doppler Konfekt

aunque todos en algún momento hemos oído de la razón de su existencia.

Christian Doppler nació en Salzburgo, y fue él quien explicó el efecto que hoy lleva su nombre: el cambio aparente de la frecuencia de un sonido dependiendo de si la fuente del sonido se acerca o se aleja del oyente.

Echar las cuentas es sencillo: Supongamos que estamos en reposo, y un tren se mueve a velocidad V. Al tocar el silbato, produce perturbaciones en la presión del aire de forma periódica. Esto es el sonido. Bueno, pues en un instante dado, el silbato produce una primera perturbación, que se propaga con velocidad Vs. Al cabo de un tiempo T (tiempo de periodicidad de la perturbación), la perturbación se ha propagado una distancia igual a su longitud de onda, λ=VsT; en ese momento, el silbato produce una segunda perturbación. Pero en ese tiempo, el tren ha recorrido una distancia VT.

Si el tren estuviera parado, la distancia entre las dos perturbaciones sería la equivalente a la longitud de onda del sonido que produce. Pero al estar en movimiento, la distancia entre las perturbaciones ha variado, de forma que esta distancia λ' es igual a lo que se ha propagado la primera perturbación, menos lo que ha recorrido el tren (o sumado, según la dirección del tren que estemos considerando). Así, un observador parado sentiría las perturbaciones con una periodicidad T' diferente a las que realmente se producen, generando el efecto de un aumento de frecuencia en el caso de que el tren se acerque o una frecuencia menor, si el tren se aleja.

Con esto, podemos decir que ya sabemos cómo una causa produce un efecto o fenómeno. Esto es lo que podemos llamar ciencia, adquirir conocimiento: si conocemos la velocidad de un móvil, y la frecuencia a la que emite un sonido, podemos predecir cómo se escuchará por alguien parado que vea pasar el móvil.

Pero la parte divertida de la ciencia es la de poder aplicar este conocimiento a una situación real. Pongamos por ejemplo, que oimos cómo el silbato de un tren cambia de frecuencia al pasar cerca de nosotros. ¿A qué velocidad va el tren? ¿Cual es la frecuencia original del silbato?.

La situación es en realidad la inversa de la usada para encontrar la expresión del desplazamiento Doppler: suponíamos conocida la velocidad del móvil y la frecuencia del sonido, y hallábamos cuanto variaba la frecuencia del sonido en función de esos parámetros. Pero, en un caso real simple sólo tenemos acceso a la variación del sonido(el efecto), y no sabemos el valor de los parámetros que lo causan.

Veamos el siguiente video. Es un fragmento del programa "Brainiac", donde muestran el efecto Doppler. Para ello se fueron a la Patagonia, se montaron en un tren y lo hicieron pitar.



El fragmento que nos interesa está en el minuto 5:20. El sonido de ese fragmento se puede representar en un espectrograma, que es un gráfico que muestra el tiempo en el eje x, la frecuencia en el eje y, y en código de colores la intensidad de cada frecuencia en cada instante de tiempo. Es una forma muy visual de ver el efecto Doppler:

Supondremos que el fenómeno por el cual el silbato suena más agudo dentro del tren en movimiento es un fenómeno paranormal, y nos centraremos sólo en el sonido captado por la cámara parada cerca la vía del tren. Es un truco muy útil que uno ha aprendido tras varios años lidiando con las pseudociencias ;)

La variación de frecuencia se ve perfectamente en el espectrograma: una frecuencia (f+) cuando el tren se acerca, y que al pasar por delante, baja de frecuencia hasta (f-). Estos son los datos a los que podemos acceder en una situación real.

¿Cómo deducimos la velocidad del tren?. Si supiéramos la frecuencia original del silbato, sería simple usar la expresión del desplazamiento Doppler, pero es que ese dato tampoco lo conocemos a priori. Así que hay que jugar un poco con la ecuación.

f+ y f- corresponden a las frecuencias de cuando el tren se acerca, y de cuando se aleja, es decir, que:

y si las restamos y las sumamos, podemos llegar a que:

de donde se puede hallar directamente la velocidad del tren. Y una vez conocida la velocidad, entonces sí puede hallar la frecuencia original. En el caso del tren de Brainiac, estos cálculos sencillos nos dan

V=14.8 m/s=53.4 km/h
f₀=549 hz

En el video dicen que el tren va a unos 60 km/h, lo que se acerca más o menos a lo que hemos calculado.

en realidad, si la velocidad del móvil es mucho menor que la velocidad del sonido (V < 0.1·Vs), la frecuencia original se aproxima muy bien a la media artimética entre f+ y f-, es decir f₀=(f+ + f-)/2.

Si esta condición no se cumple, entonces f₀ se acerca más a f- que a f+

Un cálculo más refinado

En el cálculo anterior hemos usado dos valores: la frecuencia cuando el tren se acerca, y cuando el tren se aleja. Son sólo dos puntos experimentales extraidos del espectrograma, pero en realidad, hay mucha más información: no sólo tenemos los valores cuando el tren se halla "lejos" del micrófono, sino que también cuando el tren pasa cerca. El cambio de la frecuencia alta a la baja no es brusco, sino que hay una transición. Bien, pues podemos usar no sólo dos datos, sino todos ellos y reproducir la transición entre f+ y f- para obtener más información.

Claro que para ello, primero hay que darse cuenta de que el efecto Doppler no depende exactamente de la velocidad del móvil, sino de la velocidad relativa entre el móvil y el observador en cada momento de tiempo.

Si el móvil lleva una trayectoria [x(t),y(t),z(t)], entonces la distancia al observador será r(t)=[x(t)²+y(t)²+z(t)²]^1/2. Y entonces la velocidad relativa entre el móvil y el observador será la derivada respecto al tiempo de esta distancia(dr/dt=r'), de forma que:

Nótese que ahora el denominador ahora lleva siempre el signo +. Cuando el móvil se acerque, r' será negativo, y cuando se aleje, r' será positivo, como corresponde con la expresión Doppler original.

Puede que ahora la expresión sea más complicada. Pero a la vez es más potente, porque ahora si suponemos una trayectoria (x,y,z)(t), podemos saber cómo variará en cada instante de tiempo el desplazamiento Doppler.

Volvamos al tren de Brianiac. El desplazamiento del tren es simple: un movimiento rectilíneo uniforme en una dirección (x(t)=V_xt). Y que pasa a una distancia mínima y(t)=y₀ del observador. La componente z nos la comemos (más correctamente, z(t)=0).

En cuanto a las derivadas, x'=V_x, y'=0, z'=0

Ahora, en vez de usar dos puntos de todo el espectrograma, podemos usar la mayoría de ellos, y reproducir la curva del desplazamiento Doppler. Pero antes hace falta determinar el valor de algunos parámetros, a saber: la frecuencia original (f₀, la velocidad del tren V_x, y la distancia y₀. Para ello, existen rutinas para hacer variar los parámetros hasta que conseguir que la curva teórica sea lo más parecida posible a la curva experimental:

En el caso del tren de Brainiac, los parámetros que mejor ajustan la curva teórica al espectrograma nos dicen que la frecuencia original son 547 Hz. Que el tren se desplaza a 16.3 m/s (58.7 Km/h), y que pasó a una distancia de 5.6 metros del micrófono. Comparados con los valores de frecuencia y velocidad calculados por el método simple, vemos que son similares(f=549 hz, v=14.8 m/s). Pero estos son más fiables porque hemos usado la mayoría de los valores representados en un espectrogama, y no sólo dos.

Las rutinas de ajuste suelen indicar también el error que tienen los parámetros. En este caso:
f=547+/-1 Hz, Vx=16.3+/-0.7 m/s, y y0=5.6+/-1.5 m.

Otro caso real

El ejemplo del tren de Brainiac era interesante, porque se podía observar una zona plana, cuando el tren está lo suficientemente lejos del micrófono como para que no se note cómo el sonido pasa de una frecuencia más aguda, a otra más grave. Esto permitía hacer el cálculo simple usando sólo dos valores, y que no se desviaba mucho de un cálculo más refinado usando un ajuste.

Ahora voy a usar otra situación real: un avión a baja cota. De nuevo, suponemos que la trayectoria es rectilínea y uniforme en la dirección x=V_xt, y que pasa a una distancia mínima y₀.

En este caso no se aprecia esa zona plana donde el desplazamiento Doppler es constante, sino que sólo se ve la zona de transición entre f+ a f-. Podríamos estimar a ojo por donde caerían las frecuencias f+ y f-. Pero si queremos un poco más de rigor, hay que irse directamente a la rutina de ajuste, usando la transición visible en el espectrograma. Haciéndolo, encontramos que el avión pasó a una velocidad de 122 m/s, y a una distancia de 1156 metros.

122 m/s son 439 km/h, que en nudos son 244 kt. La velocidad máxima permitida baja cota para aviones es de 250 kt, así que el valor encontrado es razonable.

El sonido lo grabé en un lugar donde los aviones se alinean con la pista de aterrizaje, pero aún no han extendido los flaps, ni han sacado el tren de aterrizaje.

¡Que pasada!

Vamos con otro:




Una pasada a ras de suelo en una exhibición aérea. Si suponemos de nuevo una trayectoria rectilínea uniforme, podemos comprobar que el mejor ajuste posible, no es del todo satisfactorio (línea negra):

A pesar de que el avión se oye desde lejos, no existe una zona "plana", sino que la frecuencia aumenta ligeramente, y por eso el ajuste no es del todo satisfactorio. La gracia de usar un ajuste es que se pueden evaluar tantas trayectorias como puedas parametrizar. Sabemos que el desplazamiento Doppler es mayor cuanto mayor es la velocidad. Así que podemos suponer que el avión está aumentando su velocidad: un movimiento uniformemente acelerado, x(t)=0.5a*t²+V_xt (y entonces, x'(t)=at+V_x)

Repitiendo el ajuste con el parámetro extra (la aceleración), se ve que el ajuste (línea azul) tiene mejor pinta. Por cierto, que el avión llevaba 187 m/s (673 km/h, 374 kt) en el momento que más se acercó al micrófono (a 146 metros de distancia)

American Airlines 11

Confieso que esta curiosidad por el efecto Doppler, y su aplicación en el cálculo de velocidad de móviles me surgió tras ver/oír este video:




Es la grabación de los hermanos Naudet el día 11 de Septiembre del impacto del primer avión. Se puede percibir un efecto Doppler cuando pasa el avión, practicamente por encima de los bomberos y el cámara. Por desgracia, el espectrograma es muy ruidoso, aunque se pueden ver algunos "fragmentos" del desplazamiento Doppler, que se pueden aprovechar para ajustar y obtener la velocidad del avión. Volvemos a una trayectoria rectilínea y uniforme.

El ajuste da que el AA11 pasó a 184 +/- 12 m/s (663 +/- 42km/h, 368 +/-24 kt). Un profesor del MIT usó el mismo video para estimar la velocidad del avión, pero con un método más simple: del vídeo, obtiene el tiempo que tarda el avión entre que (aparentemente) pasa por encima, hasta que choca con la torre. Por otro lado, del tiempo que tarda el sonido del impacto en oirse desde que se ve en las imágenes, deduce la distancia hasta las torres. Así pues, velocidad = espacio / tiempo = 691 km/h. Su estimación no está muy alejada de lo que he podido calcular yo.

El NTSB también estimó la velocidad del AA11 usando los ecos de radar, y les salen 770 km/h, que es más alta de lo que estima el profesor del MIT y yo. Los ecos del radar son aproximadamente cada 5 segundos, y muestran que el avión se acercó acelerándose, y no con una velocidad constante. ¿Cual es el valor correcto (o el menos incorrecto)? Pues no lo sé. Personalmente creo que el NTSB sobreestimó la velocidad, creo que los datos de radar cada 5 segundos dan poca precisión temporal (también desconozco cual es la precisión espacial).

También es cierto que el espectrograma es demasiado ruidoso (y corto también) como para apreciar la aceleración en el efecto Doppler (como en el caso de la pasada a ras de suelo). Lo dejaremos en que tres personas de forma independiente, y con métodos distintos han calculado esos tres valores. Que es lo habitual en ciencia: tratar de replicar resultados de forma independiente, y cuando se tienen muchos datos acumulados, estudiar qué métodos son más rigurosos, establecer qué valores pueden estar sobreestimados, o subestimados, y establecer un valor medio y su error.

En cuanto a la altura a la que pasó el avión, me salen 312 +/- 28 metros, lo que equivale a la altura del piso 80 del WTC (+/- 7 pisos). El AA11 impactó entre los pisos 92 y 93 de la torre norte, a nos 360 metros sobre el suelo sobre el que se elevaba la torre. No he podido hallar la altura del suelo en el lugar donde se grabó el sonido. Posiblemente esté un poco más alto que el lugar donde estaban las torres, pero no creo que tanto como para salvar la diferencia de casi 50 metros. Pero como aproximación, no está mal.

¿Saben que hay personas que creen que este video es un trucaje? A algunas personas les parece muy sospechoso que no se captara ninguna imagen del avión del pentágono. Y también les parece muy sospechoso que alguien pudiera grabar el AA11. Una cosa y la contraria, ambas son sospechosas.

Pues bueno, si el video de los Naudet es una falsificación, y el avión son efectos especiales de ordenador y esas cosas, yo felicitaría a quien la hizo por tener en cuenta estos detalles tan finos y (casi) clavarlos con la versión oficial.

Conspira como puedas, 33 y 1/3

Algunos dicen que la versión oficial del 11-S tiene muchas preguntas que contestar. Lo divertido es que las respuestas que esas mismas personas dan, hacen surgir otras preguntas, a cada cual más absurda.

Pero cuando te dicen cosas como

La version oficial se fue montando sobre la marcha. Por ejemplo, como oficialmente no se sabía qué había impactado contra el pentagono, echaron mano del vuelo 77 de AA

uno se queda sin preguntas, y pasa directamente a imaginarse la escena:

Sube el telón

11 de Septiembre de 2001.
13:36 zulú (9:36 EDT)
Búnker por debajo del Pentágono, Arlington (Virginia)

DICK CHENEY se halla en una habitación del búnker bajo el Pentágono. Faltan apenas unos segundos para que el Pentágono reciba un impacto inesperado. Está hablando por teléfono con GEORGE BUSH, que se halla volando en el Air Force One. Tiene el manos libres conectado, y un teléfono rojo de los de marcación por ruleta a su lado, mientras un televisor al fondo muestra imágenes de la CNN sin sonido

CHENEY (Hablando al teléfono) : Sí, Silverstein. Es judío, se lo habrá soplado algún contacto del Mossad y pide...

(Retumba el edificio, suena una explosión lejana, y las luces parpadean)

BUSH: (voz metálica, de teléfono) ¿Dick? ¿Sigues ahí?
CHENEY: Eh... sí, sí. No sé que ha pasado. Parece que ha habido una explosión por ahí arriba.

(DONALD RUMSFELD entra en la habitación con una sonrisa de oreja a oreja, y haciendo el símbolo de la victoria)

RUMSFELD: ¡Dick! ¡Esto va sobre ruedas!
CHENEY: Un momento Señor Presidente, es el Secretario de Defensa (le mira fijamente)
RUMSFELD: Acabamos de...ejem... "los terroristas" (hace las comillas con los dedos) han alcanzado un tercer objetivo. ¡El plan va como la seda!

(Se dirige al mueble bar frotándose las manos para buscar una botella de champán, mientras DICK CHENEY le sigue atónito con la mirada, con cara de desconcierto)

CHENEY:¿Alcanzado? ¿Objetivo? ¿De qué carajo hablas, Donald?
BUSH: ¿Tercer objetivo? Oye Don, ¿No te referirás a...?
RUMSFELD:(saca la botella, e intenta abrirla) Al Pentágono, claro. Era el tercer objetivo según el plan.

(DICK CHENEY ejectuta un facepalm bien sonoro)

CHENEY:¡¿Cómo?! .

(Suena un facepalm metálico, que viene del teléfono)

BUSH: Pero si dijimos...
CHENEY: ¡Ese no era en el plan!

(Pausa dramática en la que DONALD RUMSFELD deja de luchar con el corcho de la botella, que tiene entre las piernas, sube la cabeza y mira con cara de desconcierto a DICK CHENEY. Éste le devuelve una mirada asesina. El teléfono también le pone una mirada asesina. O se la pondría, si pudiera. DONALD RUMSFELD reacciona y habla con voz alegre y sonriendo)

RUMSFELD:¡Venga ya, tíos!. Me estáis vacilando.

*¡PLOP!* (La botella se descorcha sola, y se derrama sobre sus manos y la alfombra)

CHENEY: No. (Tan seco y cortante como la guadaña de La Muerte)
BUSH: Don, esa parte del plan la deshechamos en la ultima reunión.
CHENY: Por inverosímil. Tirar un misil, y decir que fue un camión bomba. ¿A quién se le ocurre?
BUSH: Bueno... a mí no me parecía tan descabellado...

(DONALD RUMSFELD mantiene la sonrisa un segundo, la cambia rápidamente a una de terror... y ejecuta otro sonoro facepalm. Posteriormente se seca el champán de la frente con la manga de la camisa)

RUMSFELD: ¡Mierda!. He estado demasiado ocupado con el NORAD, desorganizándoles para que hoy no despegaran a tiempo, y se me olvidó cancelar esa parte del plan. Joder, que marrón.
CHENEY: Bueno, que no cunda el pánico, veamos qué podemos hacer. Habrá que explicarle algo de los sucedido a la prensa. Esto no lo teníamos previsto en el guión que les dimos.

(Un militar llama a la puerta y entra un poco en la sala)

MILITAR: (Se cuadra y saluda) Con su permiso, Señor Secretario, es importante...

(DONALD RUMSFELD sale de la escena con el militar)

BUSH: Sigamos el plan original. Diremos que fue un camión bomba.
CHENEY (con voz cansina): ¿Y cómo justificamos que un terrorista ha aparcado un camión bomba en el edificio más protegido del mundo? Eso es lo que nos llevó a descartarlo, Señor Presidente. Además, la autopista está atascada a estas horas. ¡Suerte tendremos si no había turistas, y no han filmado el misil pasando sobre sus cabezas!.

(DONALD RUMSFELD entra de nuevo)

RUMSFELD: Malas noticias. Me informan de que hay un atasco del copón frente al Pentágono, y parece ser que algunos conductores están murmurando algo de un misil. Y además, desde el aeropuerto de Dulles informan de que han detectado un caza moviéndose a gran velocidad cerca del Pentágono
CHENEY: ¡Mierda! Nos han pillao con el carrito del helao

(DICK CHENEY suspira, se quita las gafas lentamente, con cansancio, mientras se lleva la otra mano al puente de la nariz, pensando, concentrándose)

CHENEY: A ver. Ya lo tengo. Si el plan va según lo previsto, y no hay más sorpresas (remarcando las palabras y mirando a DONALD RUMSFELD), ahora mismo deberíamos tener un avión secuestrado e ilocalizable en el espacio aéreo. Un... (trata de recordar) American. Creo que era un American que salía de Dulles. Diremos que ese avión se ha estrellado en el Pentágono.
RUMSFELD: ¡Ostis, Dick! Eres un genio. Sí, hasta suena coherente. Dos aviones en las torres gemelas, ahora otro en el Pentágono... Ahora entiendo por qué eres el segundo de George.
BUSH: Además, el sonido de un misil es como el de un avión. Más de un testigo creerá que oyó pasar al avión, seguro. Y la detección el radar de Dulles confirmará que era un avión, y que se estrelló en el Pentágono.
RUMSFELD: Buen punto. Todo encaja y parece coherente. Casi que tendríamos que haberlo planeado así desde el princpio, ¿verdad? ¡ja, ja! .
CHENEY: Aún así, es difícil confundir un misil de 10 metros de largo con un un avión de casi 50 si te pasa 20 metros por encima de la cabeza. Habrá que hacer algo con los que han visto el misil.

(DONALD RUMSFELD esboza una sonrisa, coge el teléfono rojo al lado del manos libres, y marca un número en la ruleta)

(tuuuut .... tuuuuut ...)

RUMSFELD(voz alegre, y con tono de paleto): Sí... ¿Está el FBI? Que se ponga. (Canturrea) na narananiaaaa... ¿Sí? Hola, soy Donald (...) Sí, muy bien, gracias, ¿y tú? (...) ah, mira que majo tu chico. ¿Cuantos años tiene ya? (...)Ah, pues dentro de nada le podemos enchufar por aquí ¡je, je! . Este(...) ah (...) sí, tranquilo, lo del submarino que no flota ya lo arreglamos la semana pasada, sí (...) Na, una tontería de nada. Te vas a reir: ¡Que resultó ser un barco! (...) Sí, joer, con lo que nos costó hundirlo, sí.

(DICK CHENEY ejecuta un facepalm bien sonoro. Suena otro facepalm desde el teléfono)

CHENEY (hablando para sí mismo) : ¡Será cenutrio!
RUMSFELD (Normal): (carraspea) Mira, que necesito un par de hombres de los tuyos (...) ¿Dirección? El Washington Boulevard (...) eso es, delante del Pentágono. (...) ¡uh! pues un centenar más o menos, todo al que vean por allí (...) Eso, y que lo que vieron realmente fue un avión. (...) Vale, gracias (recupera la voz alegre y de paleto) Por cierto, a ver si me pasas la dirección del sastre (...) sí, ya sabes que pirra el negro (...) venga (...) vale (...) Vale, te debo una... venga, adiós...adiós.

(Cuelga el teléfono y mira con cara triunfante a DICK CHENEY)

BUSH: Ahá, la típica misión de borrado de memoria. Todo un clásico, infalible.
RUMSFELD: Eso mismo.
BUSH (dubitativo): Sí, pero... la gente querrá imágenes. Querrá ver los restos del avión. Maldita curiosidad, que no se conforman con lo que dice la prensa libre e independiente a nuestro servicio.
RUMSFELD: Pues los plantamos. Tenemos restos de aviones en el sótano. Ahora mismo ordeno que salga un grupo de personas, y mientras fingen buscar restos, los van dejando caer.
BUSH: Ah, ya. La típica maniobra de plantación de pruebas. Todo un clásico, infalible.
RUMSFELD: Exacto. Lo llevas por debajo de la chaqueta, miras disimuladamente a los lados mientras silbas, y lo sueltas a la par que toses para dismular el ruido del tren de aterrizaje al caer. Y luego te haces el sorprendido "Andá, ¡mira lo que me he encontrado!". Ah, y también podemos contratar un fotógrafo experto en hacer fotomontajes indetectables.
BUSH: Bien... bien... pero la gente es además muy morbosa, seguro que nos piden imágenes de las cámaras de seguridad para ver el avión estrellándose contra la fachada.

(Pequeña pausa)

RUMSFELD: Pues se lo decimos al tío este de la Disney que hemos contratado, para que falsifique los videos.
CHENEY:(hace un gesto de contrariedad) Va a ser que no.
RUMSFELD: ¿Cómo que no? Si ha sido capaz de diseñar digitalmente aviones falsos e introducirlos en la señal en directo de las televisiones de todo el mundo, no le costará generar un avión estrellándose en el pentágono en diferido, en una sola cámara. Podemos, incluso, retener las imágenes varios años por si quiere hacerlo con tranquilidad y no quiere agobiarse.
CHENEY: Verás, Donald. Nuestro hombre de la Disney, sufrió un... accidente. Estaba en la cocina, la corbata se le ha enganchado en tambor de la lavadora, que por casualidad estaba en el programa de centrifugación, y... (Gesticula con la cara, abriendo los ojos, inclinando la cabeza, sacando la lengua hacia un lado, y sube su mano tirando de la corbata)
BUSH: Sí, el típico accidente casero. Todo un clásico, infalible.
CHENEY (con tono condescendiente): El problema, Donald, es que de estos artistas no te puedes fiar. Hoy te hacen el trabajo, pero mañana quieren que se les reconozca el mérito en público, que se sepa lo bueno que fue su trabajo, ya me entiendes. Mañana, en un mes, en un año, terminará por confesarle a un colega "Oh, sí, eso lo hice yo. ¿A que quedó bien?", y se descubre el pastel.
RUMSFELD: Vaya, entiendo.
CHENEY: Bueno, no importa, ya pensaremos algo. Podemos retener las imágenes unos años con alguna excusa, y seguro que nos da tiempo a buscar otra persona que lo haga...
BUSH: ...y que sufra otro típico accidente casero después.
CHENEY: Por supuesto, Señor Presidente. No queremos cabos sueltos.
RUMSFELD: Bueno... entonces contratiempo arreglado. Fue un avión. Un... American, habías dicho.
CHENEY: Sí. Creo que el vuelo setenta y algo... (rebusca entre los papeles) ¡Ah! El Setenta y siete. Eso, era.
RUMSFELD: Vale pues. Creo que sería bueno que saliera a decirle algo a la prensa.

(DICK CHENEY y GEORGE BUSH , juntos): Sí.

RUMSFELD: Vale, pues os veo luego. Te debo una Dick (le levanta el pulgar a DICK CHENEY, y camina hacia a puerta)
CHENEY: Con que no metas más la pata me vale, Donald. (Para sí mismo) Cenutrio...
RUMSFELD: ¡¡Oki-doki!!.

(DONALD RUMSFLED sale de la escena. DICK CHENEY resopla y se repanchinga un segundo en el asiento, antes de reincorporarse)

CHENEY:Señor Presidente, respecto a lo que hablábamos de Silverstein...
BUSH: Ah,sí, el judío. Lo dejo en tus manos, negocia como quieras con él. Veo que lo tienes todo controlado, y bien atados todos los detalles. Un gran trabajo, permíteme felicitarte. Igual le damos a Halliburton un par de contratos extra cuando vayamos a Irak, ¿eh, Dick? (y el teléfono le guiña un ojo. O se lo guiñaría, si pudiera)
CHENEY: Sí, eso estaría muy bien, Señor Presidente. Gracias.
BUSH: Ha sido toda una suerte tener ese American secuestrado ahí arriba en el momento justo. Nos ha salvado el culo.
CHENEY: Sí, Señor Presidente.
BUSH: Bien, Dick, te veo esta noche entonces.
CHENEY: Hasta entonces, Señor Presidente.

(DICK CHENEY dirige el dedo al teléfono para terminar la conferencia, pero le interrumpe GEORGE BUSH)

BUSH: ¡Ah! Una última cosilla, Dick.
CHENEY (con voz cansina): ¿Sí, Señor Presidente?
BUSH: ¿...Y para qué habíamos secuestrado el American 77?

(Baja el telón)

11-S: Los foros

Hace ya más de un año, Pedro , Josué y servidor pusimos en marcha una web sobre los mitos del 11-S. Con los modestos medios que teníamos (y seguimos teniendo), en aquel momento no pudimos implementar un sistema para recibir comentarios, o debatir sobre los artículos que hemos ido publicando. Eso lo íbamos haciendo casi «de prestado» en el foro de Misterios de Todo a Cien.

Pero hoy estamos de estreno: tenemos foro nuevo, expresamente dedicado para debatir los artículos de la web, así como otros hilos que los usuarios decidan abrir.

Eso sí. Nos gustaría que el debate sea educado, amable, y organizado, por lo que existen unas normas de obligado cumplimiento.

Animamos a todos a participar y compartir sus puntos de vista.

Calor, efecto invernadero y el acero fundido del 11S

He aquí una entrada laaaaaarga como un día sin pan, llena de matematicas y ecuaciones. Si no te apetece una lectura tan dura, entonces te doy permiso para ir directamente al ultimo apartado.

Absorción y emisión de calor en función del tiempo

Un material se puede presentar en tres fases distintas: en un gas, los átomos o moléculas se mueven libremente por todo el espacio que tienen disponible, sin apenas interaccionar entre sí. En un líquido, las moléculas se mueven, aunque interaccionan entre ellas levemente, dándole cierta consistencia al material. En un sólido, las moléculas y átomos ocupan lugares fijos, y su movimiento se reduce a una vibración en su posición de equilibrio.

En todos los casos, la temperatura del material no es sino una medida promedio de la energía cinética que poseen las moléculas del material. El movimiento de estas moléculas puede ser agilizado con tal de aportar energía e igualmente se puede ralentizar si el material libera energía.

Existen tres mecanísmos básicos para el intercambio de energía:

Conducción: La conducción de calor se realiza por contacto entre dos materiales, o en un mismo material, el calor fluye por zonas de distinta temperatura.

Convección: Es el transporte de calor a través de fluidos y gases. El aire caliente asciende de una forma caótica, mientras el aire frío desciende.

Radiación: La emisión de radiación electromagnética de un cuerpo es una forma de disminuir su temperatura, mientras que la absorción de esta misma radiación puede resultar en un aumento de la temperatura.

Todos estos procesos se pueden dar por separado o en conjunto para un material, con el resultado neto de una energía o calor que ha sido absorbida o liberada.

(Q_a-Q_l)=MC_e(T_f-T₀)

donde Q_a representa el calor absorbido por cualquiera de los tres procesos anteriores, y Q_l el calor liberado por cualquier de los tres mismo procesos. Si una masa M se encuentra inicialmente a una temperatura T₀, el balance de calor Q_a-Q_l determina hacia donde cambiará su temperatura. Una mayor absorción que liberación de energía resulta en un balance positivo de calor, y por tanto una temperatura final T_f mayor que la inicial T₀. Y al contrario, una balance calorífico negativo equivale a una disminución de la temperatura final.

El cambio de temperatura sin embargo, no es instantáneo, sino que requiere un cierto tiempo que depende de la masa del material, y de su capacidad calorífica. Estos parámetros influyen en la velocidad del cambio de temperatura. La ecuación no especifica explícitamente como tener en cuenta el tiempo de intercambio de calor, pero se puede deducir a partir de ella.

Derivando la ecuación respecto del tiempo t, se obtiene



una ecuación diferencial de primer orden. Por definición, la velocidad con que el calor se absorbe o libera es la potencia medida en watios a la que se está ejecutando el proceso (P=dQ/dt). En el caso más general, esta potencia puede no ser constante, sino depender del tiempo, o incluso de la temperatura a la que se encuentra la masa. Por su lado, el calor específco es una propiedad intrínseca del material e independiente del tiempo, pero puede depender de la temperatura a la que se encuentra el material.

Dada una condición inicial T(t=0)=T₀, esta ecuación se puede resolver para hallar la evolución temporal de la temperatura del material. Sin embargo, esta ecuación en su caso más general no tiene solución analítica, sino que es necesario hacer aproximaciones, o resolverla numéricamente.

Ley de Stephan - Boltzmann

La definición de cuerpo negro es aquel capaz de absorber completamente toda la radiación que le llega. Un cuerpo así, al no reflejar nada de radiación, se presenta literalmente de color negro. Esta absorción de energía implica que el cuerpo adquiera una temperatura determinada, haciendo que sus moléculas vibren. Si se elimina la fuente de radiación, este movimiento vibratorio no será permanente, sino que el mismo movimiento produce que las moléculas emitan radiación. Así pues, esto constituye una liberación de calor cuya consecuencia es la disminución de temperatura del cuerpo. Esta emisión de calor de un cuerpo negro fue caracterizada entre finales del Siglo XIX, e inicios del XX.

Fruto de esta caracterización, existe la Ley de Stephan - Boltzmann, que establece que la densidad de potencia, o potencia por unidad de área en la emisión de radiación de un cuerpo a una temperatura T es proporcional a la cuarta potencia de su temperatura.

P_sb=σ T⁴

La constante de proporcionalidad σ es la constante de Stephan - Boltzmann, y su valor es σ =5.67·10^-8 W/m²K⁴.

Emisividad ε

Un cuerpo negro capaz de absorber toda la radiación que le llega es una idealización. Los materiales reales son en realidad grises, lo que quiere decir que no son tan eficientes a la hora de absorber energía radiante. De igual forma, estos cuerpos grises tampoco son igual de eficientes en la libreación de calor como lo son los cuerpos negros. Es por ello que se define un parámetro de emisividad ε, un valor que va entre 0 y 1, siendo 1 el correspondiente a un cuerpo negro. Así pues, un cuerpo gris va ser más lento en la absorción de radiación, al igual que en su liberación.

Geometría

La ley de Stephan - Boltzmann relaciona la temperatura de un cuerpo con la densidad de potencia de emisión de calor. Esto implica que para una masa dada, esta potencia tiene una dependencia con la geometría. Más concretamente, la ley establece cómo la energía escapa a través de su superficie. Para hallar la potencia total con la que un cuerpo está emitiendo energía, se debe tener en cuenta su superficie. Para una misma masa, no emitirá lo mismo si tiene forma de esfera o de cubo.

P=A·P_sb

Ejemplos simples

Veamos unos ejemplos de una situaciones simples para estudiar cómo varía la temperatura con el tiempo de una masa M que en el instante t=0 posee una temperatura T₀.

Potencia constante

El primer ejemplo es el más simple: el cuerpo pose un equilibrio entre la cantidad de calor que está absorbiendo a una potencia constante P_a, y liberando con potencia también constante P_l. Supongamos que su capacidad calorífica es igualmente constante e independiente de la temperatura a la que se encuentra el cuerpo. En esta situación, la ecuación queda

P_a-P_l=MC_e·dT/dt

y es una ecuación diferencial integrable cuya solución general es

T(t)=(P_a-P_l)t/(MC_e)+ B

siendo B una constante que se calcula usando la condición inicial T(t=0)=T₀, quedando la expresión por tanto:

T(t)=(P_a-P_l)·t/(M·C_e)+ T₀

Esta expresión es una recta. La pendiente positiva o negativa(es decir, si la masa se calienta o se enfría) depende del balanace neto de calor que se está absorbiendo o liberando, como es lógico, y por otro lado, la pendiente, o velocidad del calentamiento o enfriamiento depende tanto del balance calorífico, como de la masa y su calor específico. Mayor cantidad de masa produce que esta velocidad sea más lenta, dado que el cuerpo le hace poseer más inercia térmica, o resistencia a cambiar su temperatura.

Intercambio de calor con un foco de tempertura

El ejemplo anterior, si bien simple, puede ser inapropiado en algunas circunstancias, dado que la solución implica que un objeto podría enfriarse por debajo del cero absoluto.

Supongamos ahora que nuestra masa está en contacto con un foco de temperatura constante T_F. El foco intercambia calor con el cuerpo: si el cuerpo está más frío, le cede calor, mientras que si el cuerpo está más caliente, lo absorbe de él. En cualquier caso, una propiedad del foco es que es capaz de mantener su temperatura sin ser afectado por el intercambio.La expresión de este intercambio puede ser más o menos complicada, pero por simplicidad, podemos asumir que el intercambio es proporcional a la diferencia de temperaturas entre el cuerpo y el foco, lo cual no es más que la Ley de Newton para la transmisión de calor

(P_a-P_l)=P_F =K(TF-T)

En esta expresión, cuando el cuerpo se halla más caliente que el foco, P_F es negativo, es decir, el cuerpo libnera energía que absorbe el foco, mientras que cuando la temperatura es menor que la del foco, P_F es positivo, significando que el cuerpo está absorbiendo calor del foco. La ecuación del calor queda ahora:

K(T_F-T)=MC_e·dT/dt

siendo K un factor de proporcionalidad que depende de la capacidad del foco para intercambiar calor. Es una ecuación diferencial también integrable, cuya solución general es una suma de la solución a la ecuación homogénea y la solución particular a la no homogénea.

La solución general es una exponencial decreciente

Th=B·e^(-Kt/MCe)

mientras que la solución particular es una constante

Tp=T_F

La solución general es la suma de ambas:

T(t)=B·e^(-Kt/M·Ce)+T_F

con una constante B que se puede calcular con la condición inicial T(0)=T₀

B=T₀-T_F

T(t)=(T₀-T_F)·e^(-Kt/M·Ce)+T_F

Esta expresión muestra, como era de esperar intuitivamente, que el cuerpo variará su temperatura hasta igualarla con la del foco. En ambos casos, la velocidad de enfriamiento o calentamiento será más rápida al incio, cuando la diferencia en temperatura es mayor, y se frenará, para tender asintóticamente al valor T=T_F cuando t tienda a infinito como se puede ver en la figura.


Figura: Evolución de la temperatura según el intercambio de calor con un foco de temperatura constante

Enfriamiento por radiación

Supongamos que nuestra masa M presenta una superficie A, y que posee una emisividad ε . El cuerpo se halla en vacío, de forma que su única forma de enfriarse es por radiación, siguiendo la Ley de Stephan - Boltzmann. Con estas aproximaciones, la ecuación del calor queda de esta forma:

(P_a-P_l)=-AεσT⁴=MC_e·dT/dt

Esta ecuación también puede ser resuelta analíticamente para obtener la solución general:



donde B es una constante, que se puede calcular de nuevo usando la condición inicial T(0)=T₀.

B=-T₀^-3/3

Reordenando términos, se llega a la expresión:



Este resultado implica que la temperatura decae con la raíz tercera del tiempo. El enfriamiento es más rápido cuanta mayor es la temperatura, aunque al bajar el ritmo decrece notablemente. La temperatura tiende asintóticamente a 0 cuando t tiende a infinito.

Figura: Enfriamiento por radiación según la ley de Stephan - Boltzmann

Ejemplos menos simples

Enfriamiento por radiación y una aportación constante

Las situaciones anteriores son simples, pero nada evita que se puedan dar simultáneamente. Por ejemplo, supongamos que una cuerpo a una temperatura T₀ se enfría según la Ley de Stephan - Boltzmann a la par que absorbe energía de una forma constante. La ecuación del calor se expresa entonces como:

P_a-AεσT⁴=MC_e·dT/dt

Ahora la solución no se puede encontrar por medios analíticos, sino que es necesaria la integración numérica, como por ejemplo la integración en cuatro pasos de Runge - Kuta. En todo caso, sin llegar a resolver la ecuación, se puede realizar una predicción sobre resultado final. A altas temperaturas, la Ley de Stephan - Boltzmann dice que la liberación de calor será a un ritmo elevado. Con una dependencia con la cuarta potencia de la temperatura, es probable que su efecto sea mayor que lo que pueda aportar la absorción constante, por lo que es de esperar un balance neto negativo, y que por tanto el cuerpo se enfríe.

En el caso contrario, si la temperatura es baja, la aportación constante bien puede compensar o incluso superar el enfriamiento por radiación, haciendo que la muestra se caliente. Así, tiene que existir un punto medio en el cual exista un equilibrio, y por tanto la variación de temperatura sea nula, porque el balance neto calor también lo es. Esa temperatura se puede calcular igualando el primer término de la ecuación a cero.

P_a-AεσT⁴=0

P_a =AεσT⁴

y despejando T,

T=(P_a/(Aεσ))^1/4

será la temperatura de equilibrio. Dada una condición inicial, la masa se enfriará o calentará hasta alcanzar esa temperatura de equilibrio.Hay que hacer notar que esta temperatura de equilibrio no depende del cuerpo en sí (a excepción de su área radiante, a través de la Ley de Stephan - Boltzmann). Es decir, cuerpos hechos de un material distinto, incluso con distinta masa, pero con igual superficie llegarán a la misma temperatura de equilibrio (si bien el tiempo empleado en ello sí que dependerá de su masa y su capacidad calorífica).


Figura: Liberación de calor por radiación, junto con una absorción constante

Cuando la temperatura del cuerpo es alta, el ritmo de absorción de calor puede ser despreciable frente a su liberación por radición. Así, no hay diferencia con el caso de liberación por radiación. Sin embargo, al bajar la temperatura, la contribución de la absorción se hace notar, y el enfriamiento se ralentiza sustancialmente.

Enfriamiento por radiación y aportación de un foco

Supongamos ahora que el cuerpo está en contacto con un foco que mantiene una temperatura constante. La ecuación se escribirá ahora como

K(T_F -T)-AεσT⁴=MC_e· dT/dt

De nuevo, esta ecuación debe ser resuelta numéricamente. En el anterior caso, la absorción constante de calor por parte del cuerpo frenaba la caída de temperatura; ahora la diferencia de temperatura entre el foco y el cuerpo lo que hace es ayudar al enfriamiento mientras la temperatura sea mayor que la del foco porque el foco le roba calor al cuerpo. La temperatura final que se alcance, sin embargo, no será la temperatura del foco, sino una tal que haya un equilibrio entre la cantidad de calor que el foco intercambia con el cuerpo, y lo que éste liberará por radiación. De nuevo, se puede estimar cual será esta temperatura igualando la primera parte de la ecuación a cero:

K(T_F-T)= AεσT⁴

Dado que el segundo término es siempre positivo, eso implica que K(T_F-T) también debe serlo, y por tanto T es menor que T^F, la temperatura de equilibrio será menor que la temperatura del foco. Resolver una ecuación de cuarto grado no es sencillo por medios analíticos, por lo que se puede recurrir a métodos numéricos, o también métodos gráficos.

Figura: Balance neto de calor que absorbe o libera el cuerpo en función de su temperatura

La figura muestra la contribución al balance calorífico del foco (línea punteada roja), la ley de Stephan - Boltzmann (línea punteada azul), y el balance total de potencia absorbida y liberada (amarilla). Como se puede ver, este balance se hace nulo a una temperatura menor que la del foco.


Figura: Liberación de calor por radiación, e intercambio de calor con un foco de temperatura constante

Masa, emisividad y calor específico variables

La mayoría de las características de los materiales suelen presentar variaciones con la temperatura, y tanto el calor específico como la emisividad pueden presentar esta variación. Su inclusión en las ecuaciones puede ser necesaria para un cálculo afinado, y que poducirá distintos efectos en los casos anteriormente tratados: una emisividad más alta implica una mayor liberación de calor en forma de radiación. En cambio, un mayor calor específico implica que la variación de temperatura, ya sea para aumentar o disminuirla, será más lenta.

La masa en cambio, debería ser siempre una constante. Es una buena suposición que las pérdidas de masa por evaporación o sublimación son despreciables frente a la masa total del cuerpo bajo estudio. Materiales idénticos, pero con distintas masas dan lugar a que el proceso de absorción o liberación de calor sea más lento para mayores masas, al igual que ocurre con el calor específico. Pero en princpio es perfectamente asumible que un cuerpo no perderá ni ganará masa sólo por efecto de la temperatura.

Cambios de fase

Cuando un material cambia de fase, debe absorber o liberar un calor extra que le permite realizar la transición. Durante el tiempo que dura este cambio de fase, la temperatura del material permanece constante, y sólo cuando ha terminado puede seguir calentándose o enfriándose.

El calor que necesita absorber o liberar un material que pasa de líquido a sólido o viceversa, es llamado calor latente l, que se suele expresar en J/kg. Es el calor necesario para cambiar de fase un kilo de material. Si el material está recibiendo una potencia constante con el tiempo, entonces el tiempo necesario para el cambio de fase será el tiempo que tarde en absorber o liberar un calor equivalente al calor latente:

lM=Pt

t=lM/P

Ejemplos reales

La temperatura de la Tierra

Anteriormente vimos el caso de una absorción de calor a un ritmo constante combinado con emisión por radiación según la ley de Stephan-Boltzmann. Este ejemplo corresponde perfectamente con el balance radiativo de la Tierra: tiene una aportación constante de calor, que es la radiación proveniente del Sol, P_s=1350 W/m².

Parte de esta energía es reflejada por el agua del mar, el hielo de los polos, las nubes... este es el llamado albedo, que supone que alrededor del 30% de la radiación solar sea reflejada de vuelta al espacio. La radiación que finalmente llega a la Tierra, ve una circunferencia con el radio terrestre, R_T, cuya área es πR_T². La Tierra se calienta por acción de esta radiación, y comienza a re-emitirla por toda la superficie de su esfera 4·πR_T², de forma que escribiendo el balance del calor:

P_a=(1-a)P_sπR_T²

lo que da una temperatura de equilibrio:



Echando cuentas, según este balance, la superficie de Tierra debería estar a -19°C. Sin embargo, la temperatura media de la superfice terrestre está en torno a 15°C, debido al efecto invernadero. El efecto consiste en que parte de la radiación que libera la Tierra es absorbida por ciertos gases presentes en la atmósfera, y reenviada de vuelta a la superficie terrestre. Esto supone una aportación extra de energía que desplaza el balance hacia una mayor temperatura. El efecto invernadero se puede añadir a los cálculos anteriores como un factor de forzamiento f, representando una fracción de la energía emitida por la Tierra:

(1-a)P_s· + f(4σT⁴)=(4σT⁴)

De esta forma, la nueva temperatura de equilibrio vendrá dada por:



Sabiendo que la temperatura media de la Tierra son 15°C, el actual forzamiento es f=0.434, un 43.4% de la energía liberada por la Tierra por radiación. Es decir, que dos quintas partes del calor liberado vuelve a la Tierra por acción de los gases de efecto invernadero, unos 180 W/m².

El efecto invernadero no es una acción constante, sino que puede variar tanto por causas naturales como por la actividad humana. Esto es lo que desde hace unos años estudian los climatólogos: cómo la distinta concentración de gases afecta al forzamiento producido por el efecto invernadero. Y no sólo eso, dado que el cambio del clima puede implicar el cambio en el albedo terrestre, con lo que el balance radiativo se hace complicado de estudiar. Actualmente, el forzamiento radiativo extra, se estima en unos 4 o 5 W/m² positivos, lo que implica en principio que el balance se desplace hacia una mayor temperatura de la Tierra.

La mayor parte de la superficie terrestre es agua. Los mares y oceanos son los principales focos de temperatura del planeta, y es por tanto en ellos donde debe producirse el mayor cambio de temperatura de la superficie. Tanta agua representa mucha masa a calentar, y si tenemos en cuenta la ecuación del calor, podemos ver que el papel de la masa en ella hace que la velocidad de cambio de temperatura dT/dt sea menor. Así pues, el cambio climático, el cambio de temperatura del planeta es un proceso que en principio es lento. De ahí que las previsiones que el IPCC hace sean con 100 años vista. Y de igual forma que un cambio de temperatura requiere mucho tiempo, esa misma inercia hará que una vez producido el cambio, éste perdure largo tiempo antes de un nuevo cambio climático.

El acero fundido de las Torres Gemelas

Las torres gemelas se derrumbaron tras el impacto de dos aviones, y un posterior incendio. El calor del fuego debilitó la ya dañada estructura de las torres, provocando un colapso que era imposible de frenar. En los días posteriores se comenzaron las tareas de desescombro y limpieza de la zona cero. Esta labor se vio dificultada por un lado por la poca estabilidad de los restos, que producían nuevos derrumbes, y por otro las altas temperaturas que había bajo la masa de escombros.

Tal fue la temperatura que existen varias fuentes afirmando haber encontrado metal en estado líquido, metal que se suele identificar como acero proveniente de la estructura de las torres. Estas altas temperaturas, y este acero fundido se relacionan según las teorías de la conspiración con el uso de termita, una reacción química entre aluminio y óxido de hierro que libera gran cantidad de calor, suficiente como para fundir acero. Por ello, sospechan que se usó termita para fundir las columnas de las torres, y demolerlas de esta forma.

Según las informaciones, el metal fundido pudo habserse visto hasta varias semanas después del 11S. Entonces, la pregunta al hilo de este largo e interminable artículo es: si la termita fundió las columnas, ¿cuanto tardaría en enfriarse una masa de acero equivalente a la que tenían las torres gemelas? ¿Pudieron aguntar a la temperatura de fusión del acero durante varias semanas o meses?

La temperatura de fusión del acero es de unos 1800 K, mientras que la termita consigue elevar la temperatura del acero hasta unos 2800 K. Así, tenemos ya la condición inicial de T₀=2800 K.

La masa total de acero estimada para las torres gemelas es de unas 72.000 toneladas por torre (Fuente: Gregory Urich). Para hallar el área que ocupaba el acero, tenemos que suponer que formaba una sola masa homogénea. Toda esa masa ocupará un volumen vendría dado por V=M/δ siendo δ=7700 kg/m³ la densidad del acero. Dependiendo de la geometría, la superficie que radiará calor según al Ley de Stephan-Boltzmann será distinta según la geometría, siendo la forma de esfera la que menor superfice presenta, y la que por tanto se enfriará más lentamente

Supongamos que tras la caída de las torres gemelas, todo el acero forma una esfera, con una temperatura uniforme de 2800 K. Su masa son 144.000 toneladas (72.000 por torre), un calor específico constante con la temperatura de C_e=450 J/K·kg, una emisividad constante de ε=0.4, y un área de 3407 m²

Con estos parámetros, podemos hacer uso de la ecuación para el enfriamiento por radiación para saber cuanto tardará toda esta masa de acero en enfriarse hasta el punto de fusión del acero. Esta temperatura depende del tipo de acero concreto, pero ronda los 1800 K. Este tiempo, según se desprende de la figura, es de alrededor de 9 horas y media, mientras que el tiempo que necesitaría para llegar a la temperatura ambiente sería de 115 días, casi cuatro meses.


Figura: Tiempo de enfriamiento sólo por radiación. La escala logarítmica es para apreciar mejor las características de la gráfica.

A estos tiempos, en realidad, haría falta sumarles el tiempo que dura el cambio de fase de líquido a sólido, dado que durante ese tiempo, el material permanece en estado líquido, y con una temperatura constante. Se puede deducir que el tiempo que tardarían 144.000 toneladas de acero en cambiar de fase:


Así, el tiempo total que 144.000 toneladas de acero estarían en estado líquido serían unas 14 horas. Estos resultados indican que el enfriamiento por radiación por sí solo es demasiado rápido para que el acero se pudiera encontrar en forma líquida varias semanas después del derrumbe. Queda en evidencia entonces que un enfriamiento sólo por radiación no es un modelo válido para explicar las altas temperaturas que se observaron durante tanto tiempo.

La masa de escombros está en contacto con el aire. Este aire se calienta alrededor del acero, y asciende por al atmósfera, siendo reemplazao por aire frío. Así, podríamos considerar la atmósfera como un foco de temperatura constante. Sin embargo, como ya habíamos visto, esto provocaría que el enfriamiento se viera en realidad ligeramente acelerado, debido que ahora no sólo se piede calor por radiación, sino porque la masa cedería también una parte al foco (la atmósfera) aunque en último término, tras enfriarse por debajo de la temperatura de ésta, se llegaría a una temperatura de equilibrio, frenando el enfriamiento. Así, este otro modelo tampoco dará valores válidos.

La única opción disponible entonces para conseguir temperaturas tan altas y sostenidas en el tiempo, es suponer una fuente de calor constante que lo aporte a la masa de acero, mientras que esta se enfría por radiación.

De hecho, con este modelo, ni siquiera sería necesario tener como condición inicial una alta temperatura. En las torres gemelas hubo sendos incendios, que tras su derrumbe continuaron bajo la masa de escombros. Esto es indudablemente un foco de calor, y si sumamos a ésto que la refrigeración bajo una montaña de escombros era más bien escasa, estaríamos en un caso parecido a un efecto invernadero, tal y como ocurre con la Tierra. El calor desprendido por la masa de acero, al no poder ser evacuado fuera, se realimenta y reabsorbe, al menos parcialmente, aumentando entonces la temperatura.

Quizás no sea posible evaluar cuanto calor es debido a los incendios, y cuanto debido a este «efecto invernadero». Sí es posible en cambio estimar la cantidad de calor por unidad de tiempo mínima necesaria para mantener la temperatura de fusión del acero, a partir de:

P_a=AεσT⁴

P_a=3407·0.4·5.67·10^-8(1770)⁴=8.1·10⁸ W= 810 MW

siendo una parte debida al calor desprendido por el incendio, y otra parte por la reabsorción de energía. Una vez consumido todo el material susceptible de arder, los escombros debían enfriarse sólo por radiación, frenados por la reabsorción de calor.


Figura: Evolución temporal de la temperatura para varias condiciones

Una simulación de este proceso, con una temperatura inicial de T₀=800 K (526°C), con una potencia de absorción de energía de P_a=810 MW durante 90 días (tres meses), dan lugar a una evolución de la temperatura como la de la figura. También en la figura se hallan representadas otras condiciones. Nótese que la escala horizontal es logarítmica, para poder apreciar mejor los distintos perfiles de calentamiento durante el primer día de tiempo.

Estos cálculos demuestran que bajo los escombros de las torres gemelas debió haber una fuente de calor que duró bastante tiempo activa. Probablemente, dado que no había ventilación alguna posible, parte del calor liberado por los escombros, era reabsorbido por este mismo, en un proceso similar al efecto invernadero. Los entusiastas de las conspiraciones quizás ahora apunten con su dedo acusador, sugiriendo que esta es la prueba de que la reacción de termita fue la fuente de calor activa todo este tiempo.

Sin embargo, los cálculos indican que no hace falta que la fuente de calor sea tan elevada, sino que un incendio normalito bien podría haber elevado la temperatura hasta el punto de fusión del acero dada la falta de ventilación. Por otro lado, sugerir que durante varias semanas o meses estuvo reaccionando la termita sobrante tras la demolición de las torres implica que una inmensa cantidad de ésta debió introducirse en las torres, en realidad muchísima más de la que pudiera haber sido necesaria para demoler las torres, cualquiera que fuera la forma de usarla (a fecha de publicación de este post, nadie a propuesto una teoría creíble de cómo se usaría la termita para demoler los edficios), algo que suena bastante ridículo. Quien calculó la termita necesaria para tirar las torres se pasó de largo en el cálculo. Y por mucho.

Hay que tener en cuenta que en todo momento hemos supuesto una condiciones un tanto irreales, pero totalmente favorables a la hipótesis de que el acero se calentó por acción de la termita, y luego tardó todas esas semanas en enfriarse. Hemos tomado la masa total de acero de las torres y además hemos supuesto que toda la masa forma una esfera compacta. En realidad, podríamos haber supuesto que tenemos varios miles de columnas con forma de paralelepíedo hueco de casi 4 metros de largo, y unos decímetros de ancho. Sin embargo, el área radiante total entonces sería bastante mayor que el de una esfera compacta. Las suposiciones hacen por tanto que la respuesta térmica sea más lenta que un modelo más realista. Hemos trabajado con el modelo más lento posible. Esto a su vez implica que en un modelo real, el calor aportado por el incendio de los escombros y la reabsorción de calor sería también menor para mantener zonas (no ya toda la montaña de escombros) a una temperatura que permita alcanzar la temperatura de fusión del acero.

Que las temperaturas de los escombros del WTC fueran altas durante largo tiempo, no es debido al uso de termita. Es otra de esas ideas felices que no tienen ni pies ni cabeza, pero que se pueden explicar sin suposiciones fantasiosas.

Arquitecto sin conocimiento

Confirmado.

Richard Gage, fundador de Arquitectos e Ingenieros por la verdad el 11-S, no es una autoridad fiable ni creible cuando habla de edificios.

Con esta brillante demostración ya lo intuíamos. Pero ahora, está confirmado.

En uno de sus últimos artículos Mandarin Oriental Hotel compared to WTC7—Dramatic Differences no le tiembla el pulso al escribir:

With the fiery inferno of the Mandarin Oriental Hotel (MOH) in Beijing on February 9, 2009, the obvious point of comparison is with World Trade Center 7 (WTC7) on September 11, 2001. Yes, the buildings were very similar in size and construction. Their heights were comparable, 522 ft. for MOH, vs. 610 ft. for WTC7. But the differences in the magnitude of the fires and ultimate results were dramatic, in the extreme.

Negrita mía.

Y tampoco tiene reparos en afirmar que:

Once the fires were out, the MOH remained standing. This is not at all surprising, since all previous steel-framed high rises have remained standing (other than WTC7, says NIST) after having been engulfed by fire.

Pues no. El edificio del TVCC (que contenía el MOH) no estaba hecho de acero como dice Gage. Estaba hecho de hormigón armado:

The 34-storey TVCC, (...), consists of a 1,500-seat theatre, audio recording studios, digital cinemas, news release and a five-star hotel with ballroom and function facilities and a generous spa. The hotel tower was designed as a reinforced concrete frame plus core

Y como ya sabemos tras el incendio del Windsor en Madrid, el hormigón resiste mejor que el acero ante incendios, por muy espectaculares que sean.

Por otro lado, el TVCC parecen ser dos torres unidas sólo por el techo, dejandoun hall muy amplio en el interior del edificio.

Pues eso, que los edificios se parecían en que tenían una puerta, ventanas, y techo.

Pero no hay de qué preocuparse:

Researchers at AE911Truth are very interested in making more detailed comparisons between these two buildings, the fires, and the aftermaths. Check back for the latest information.

Seguro que cuando descubran que los edificios no son comparables, nos lo cuentan.

¿O no?

11S: Buscando 'su' verdad

Desde hace ya algún tiempo, están apareciendo webs en castellano dedicadas a descubrir "la Verdad" del 11S, y sus autores o seguidores se autodeniminan "activistas por el movimiento de la verdad".

Desde una de esas webs se ha realizado una crítica a la web 11-S: Análisis crítico que mantenemos Pedro Gimeno, Josué Belda y servidor de ustedes.

Una crítica que revela que estos "buscadores de la Verdad" en realidad lo que buscan es una "confirmación de su Verdad", basándose en informaciones incorrectas, o interpretaciones totalmente sesgadas a las que niegan tajantemente cualquier otra que no sea la suya. Dudan de la versión oficial, pero no es una duda basada en la razón, sino en sus prejucios, y lo que ellos ya consideran como "La Verdad" sin necesidad de buscarla.

Para dar cuenta de esas informaciones e interpretaciones sesgadas, hemos preparado esta respuesta:

Respondiendo a «Investigar 11-S»: Dudar sin pensar

Y para comentarios, debates y demás, les remito al foro

Conspiración on tour

7 de Noviembre, 7 de la tarde, Fundación del Colegio Oficial de Arquitectos de Madrid (COAM). El arquitecto americano Richard Gage se pasó por allí, para demostrar (otro más) que las torres gemelas y el edificio 7 del World Trade Center cayeron debido a una demolición controlada. No es una charla aislada, porque Richard Gage está de gira por Europa, comenzando por Madrid.

A pesar de tener ya planes para esa tarde (aunque no se lo crean, los malvados escépticos también tenemos vida social, y no nos pasamos la vida pegados al ordenador o la tele a ver cual es la última de Iker Jiménez) me pude acercar un ratito a ver que se cocía.

Hay que reconocer que el evento tuvo éxito en cuanto a afluencia de público. Llegué 15 minutos antes del comienzo, y tuve que esperar a ver si había hueco porque el aforo estaba prácticamente lleno. A pesar de todo, pude entrar y coger asiento en la sala principal. En una sala exterior proyectaban la imagen y se oía la traducción simultánea.

Cuando entré, le estaban entrevistando para una televisión local de Vallecas. Poco pude oír porque le pillé justo al final, y sólo pude entender cómo hablaba de que había que “ceñirse a las evidencias”.

Y mientras esperábamos la cola para acceder al salón de actos, en un mostrador repartían tarjetitas con un resumen de esas evidencias, y de cómo éstas corroboran la teoría de la demolición controlada. También vendían CD’s al módico precio de 20 euros, que al fin y al cabo, la noble labor de abrir los ojos al mundo no se hace gratis.

Richard Gage se presenta como arquitecto desde hace 20 años, en la zona de la bahía de San Francisco. Miembro de la asociación de arquitectos e ingenieros por la verdad del 11-S apoyada ni más ni menos que por la friolera e impresionante cantidad de unos 500 arquitectos e ingenieros (*), todos ellos pidiendo una nueva investigación de los eventos de aquel día. Sin embargo, parece ser que ya no ejerce como arquitecto. Según él mismo dijo, ahora dedica el 100% de su tiempo a divulgar la teoría de la demolición controlada. De ahí el tour que tiene previsto realizar por toda Europa.

Tras la presentación, Gage denunció la existencia de una nueva ley (HR 1955) según la cual, cualquiera que dude de la versión oficial puede ser considerado terrorista. El texto de la ley anda por aquí, y dejaremos que sean quienes entienden de leyes los que opinen si la ley dice eso, o si es una nueva versión del argumento de persecución Galileana

Gage considera importante saber qué pasó realmente el 11 de Septiembre de 2001, para prevenir que otro 11-S ocurra algún día, algo en lo que creo la mayoría podemos estar de acuerdo.

Preguntó Gage por qué tipo de público tenía: unos 10 “oficialistas”, unos 50 “dudosos “, y otros 50 “convencidos de la conspiración”. En cuanto a formación, unos 20 entre arquitectos e ingenieros, y el resto, gente “normal” (sic), de lo cual llegó a decir “eso está bien”. Cada uno que lo interprete como quiera, pero siendo malo uno diría que tenía un público fácil, lo cual le agradaba.

Lo que no terminé por entender fue su obsesión por conocer los números exactos. Y tampoco quiero pensar mal en exceso.

Y así, empezó la chicha del acto, remarcando que sólo se iba a fijar en los hechos basados en ciencia, seguido de una mención a Pearl Harbour, y una introducción en forma de video del 11-S. El video, como no, decía que las torres gemelas cayeron en apenas 10 segundos. Mal empezamos, si partimos de hechos falsos, dado que el tiempo en que cayeron las torres fue más bien de unos 15 segundos.

El método científico tiene un esquema claro y fácil de seguir: tenemos unas evidencias, las interpretamos para elaborar una hipótesis, hacemos experimentos repetibles de los que sacamos conclusiones y entonces validamos o descartamos la hipótesis para buscar una nueva. Más o menos, todos estaremos de acuerdo en esa descripción.

En 2005, FEMA y NIST habían dicho que no encontraron evidencias de una demolición controlada. La crítica de Gage es que no se puede encontrar lo que no se busca. Pero también se le puede decir a Gage que si no hay motivos para buscar algo determinado, hacerlo es dar palos de ciego, algo que en alguna ocasión puede llevar a descubrimientos fantásticos, pero la mayoría de las veces a perder el tiempo (y malgastar el dinero). Aplicando el método científico esquematizado de antes, podríamos decir que los experimentos de FEMA y NIST confirmaban las hipótesis que les sugerían las evidencias disponibles, y por tanto no era necesario buscar en otra dirección.

Así, empezamos a repasar las características de los derrumbes. Empezamos por al torre 7. Fue la última en caer, pero tiene su lógica empezar por aquí. Creo que todos podemos coincidir en que su derrumbe se parece a una demolición controlada. La estrategia es clara: convencer primero de lo fácil (el WTC7 fue demolido controladamente porque se parece mucho a una demolición controlada desde la base del edificio), que luego será más fácil de convencer de lo difícil (la demolición controlada de arriba a abajo de las torres gemelas).

Remarco parece, porque al final la argumentación se reduce a un “confía en tus sentidos”, “tus sentidos no te engañan”. El primer elemento para convencernos de esta demolición controlada es… un video de una demolición controlada desde la base del edificio. En el video se apreciaba bien la explosión en los pisos bajos, y un segundo después cómo la estructura se cae.

Lo que no se aprecia en el video en cambio, es el sonido. Es un video mudo, donde no se oyen explosiones. De esta forma, al ver a continuación el derrumbe del edificio 7 uno no se da cuenta que falta el sonido de las explosiones, a pesar de que sí se oye el sonido del edificio cayendo. Eso sí, nos ofrece el sonido de una grabación de una emisión de radio, en la que la locutora entrevista a alguien de emergencias, diciendo que había oído como el sonido de un trueno o relámpago (literalmente, “clap of thunder”) justo antes de la caída. La transcripción (y sonido) se pueden encontrar aquí

Se nota que Gage se dedica el 100% a la divulgación, y tiene tiempo para hacer sus deberes. En Agosto de 2008, el NIST sacó por fin el informe sobre el colapso del WTC7. Y ya se lo ha leído a fondo.

Resumiendo, lo que señala el informe como la secuencia más probable del colapso, es que tras la caída de la torre norte (la segunda en caer), el WTC7 sufrió daños visibles en la fachada. También aparecieron algunos incendios, de los cuales, el que se dio entre las plantas 7 y 13 fue el causante final del derrumbe. El incendio comenzó en el lado suroeste del edificio, y se propagó a la zona norte (algo de lo que Gage se sorprende, a pesar de haber dicho previamente que es bien sabido que los fuegos no están más de 20 minutos en una zona concreta), y de la zona norte, a la zona este.

El incendio y las variaciones de temperatura dilataron y contrajeron los pisos y columnas, hasta que al final, en el lado este, algunos pisos se desprendieron de las columnas 79, 80 y 81. Éstas eran las más largas del edifcio, y además eran las que más peso soportaban. Al caerse los pisos, las columnas se quedan sin apoyos laterales, y comienzan un proceso de “pandeo” que las hace doblarse sobre sí mismas, comenzando el derrumbe general de todo el edificio.

Esta era una buena ocasión para que Gage mostrara sus conocimientos de arquitectura y explicara si esas columnas eran o no tan importantes. Y si el perder esas columnas hubiera hecho que el edificio se cayera como lo hizo, tal y como sostiene el NIST.

Un edificio se cae porque sus columnas dejan de soportar el peso. Cómo se eliminen, es independiente de lo que pase luego. De hecho, el NIST también examinó la hipótesis de la demolición controlada. Sabiendo que el edificio cae si se eliminan esas columnas, calcularon la cantidad de explosivo mínimo: una carga direccional de apenas 4 Kg de RDX en la columna 79. Al explotar, se elimina la columna y el edificio cae como se ve en las imágenes. Es una demolición controlada que cumple con los requisitos que piden los conspiranoicos, y coincide con los estudios de qué pasa cuando se elimina la columna 79.

Así que la pregunta para Gage, como arquitecto que es, debería ser si el hecho de perder el apoyo de las columnas 79, 80 y 81 hubieran tirado al suelo al WTC7. Luego, si quiere, podríamos entrar en si se perdieron por un incendio, o por una carga explosiva, pero el primer punto es claro: eliminar esas columnas ¿tira abajo el edificio, sí o no?. La mayoría de los que estábamos allí no poseíamos conocimientos suficientes para saberlo, Gage podría haber explicado si era así o no dado que él sí posee esos conocimientos. Pero, o me perdí ese punto, no entró en él.

En cambio, prefiere mostrar una imagen de la simulación del NIST. Según la simulación, unos segundos después del inicio de la caída el edificio empieza a retorcerse sobre sí mismo, algo que según él, no se aprecia en las imágenes. Sin embargo, estos giros de la estructura aparecen en los pisos más bajos, que están tapados por otros edificios en los videos, por lo que no podemos saber realmente si eso fue así.

Y para poco más me dio el ratillo que pasé allí. De lo poco que vi y oí, me pareció que la argumentación se reducía a fiarse de los sentidos para comprobar cómo un hecho se parece a otros. Pero en fin, igual después sí que sacó a relucir su experiencia como arquitecto y me lo perdí.

Una de las curiosidades que tenía para acudir al acto era saber si algún arquitecto o ingeniero con experiencia en construcción de edificios, o demoliciones, planteaba algún debate sobre las afirmaciones de Gage. Visto el tipo público asistente, tengo mis dudas al respecto. Y en todo caso, tampoco podría haberme quedado a verlo.

-Hay que ceñirse a las evidencias - le oí decir al entrar.

Las evidencias deben llevar a establecer las hipótesis. Sin embargo, si partimos de una interpretación errónea de las evidencias, llegaremos a hipótesis erróneas. La tarjetita que cogí al inicio del acto muestra las características de las caídas de los 3 edificios, que se toman como evidencias. Entre ellas, la archiconocida "caída libre", que las torres gemelas cayeron fuera de su huella, y la torre 7 dentro de su huella (¿ambas son evidencias de demolición controlada?), piscinas de metal fundido.... Pero la que llama más la atención es lo de la “nube piroclástica”.

En las torres Norte y Sur, la “evidencia” sugiere la presencia de unas nubes que se parecen a nubes piroclásticas, lo que sugiere el uso de explosivos. Una vez más, se nos está pidiendo que tomemos un parecido como evidencia. Las nubes piroclásticas surgen en algunas erupciones de volcanes, como la del Vesubio que llevó a la destrucción de Pompeya y Herculano. Es una nube de gas a muy alta temperatura que cae a alta velocidad volcán abajo.

¿Qué tiene que ver una erupción volcánica con una bomba, o demolición? Pues no lo sé. Tampoco se entiende por qué la gente que terminó cubierta por esa nube no murió carbonizada.

Lo cierto es que si los conspiranoicos fueran tan sólo el 1% de exigentes con sus teorías de lo que son con la versión oficial, se quedarían sin conspiración.

Actualización

(*) Compárese con los 123.000 miembros de la ASCE (American Society of Civil Engineers), y los 80.000 miembros de la AIA (American Institute of Architecs) (fuente) que al contrario de los 500 arquitectos a los que representa Gage, no dudan de los informes del NIST. Mucho conspirador suelto, es lo que hay

Otra Actualización

Terminó la gira europea, y Gage la resume en su web. Por supuesto, fue un éxito porque acudió gran cantidad de gente. Y la manía por contar qué tipo de asistentes tenía era por lo que me temía:

Cientos de arquitectos e ingenieros vinieron a ver de qué iba la controversia

No se cómo fue en otros países. En Madrid, de unos ~120 asistentes, sólo 20 eran ingenieros o arquitectos (un 16%). En París, parece que la proporción fue más o menos la misma: unos 40 de 240. Si la proporción fue la misma en el resto de países, entonces sumando los de todos los países, sí, llegaron al centenar, y representan al 16% del público. Otra cosa es si se creían o no los argumentos de Gage.

Y la otra frase me hace gracia es la de:

Y el número de manos alzadas reveló que apenas nadie apoyaba la conspiración oficial y la historia del fuego después de mostrar las evidencias

Se le olvida contar que el número de manos alzadas antes de dar las evidencias ya era elevado, por lo que en realidad, estaba hablando a un público ya convencido o predispuesto.

Si lo que intentaba contando tipos de asistentes era demostrar a posteriori que había convencido a ingenieros y arquitectos de "la Verdad"... pues simplemente me parece una manipulación.