¿Tierra Plana o Globomundo?

Me gustaría vivir en el Mundodisco. Un disco plano llevado a lomos de cuatro elefantes sobre el caparazón de Gran A'tuin, una tortuga que cruza el universo sin prisa pero sin pausa, y que podría aparecer en el diagrama de Hertzsprung-Russell si le diera la gana.

La realidad es que vivo en una roca esférica achatada por los polos, que gira alrededor de una bola gigante de gas ardiendo, así que me conformo con disfrutar de obras de ficción que se desarrollan en dicho mundo.

Sin embargo, en esta roca existe gente que ¿realmente(*)? piensa que nuestro mundo es un mundo plano, aunque mucho más aburrido que el Mundodisco. Para empezar porque un muro de hielo impide contemplar el agua cayendo por el borde al vacío. De tortugas ya ni hablamos.
(*) Todavía no se si van en serio, o si son un ejemplo extremo de la Ley de Poe.

Hasta ahora, había visto este tema de reojo, sin interesarme demasiado. Tenía cierta idea preconcebida sobre las astronomía planoterrícola, pero hace poco leí a @VaryIngweion (¿Tierra plana, en serio?) y descubrí que el asunto era aún peor de lo que pensaba.

Vary comenta cómo un planoterrícola pide pruebas que él mismo pueda experimentar, porque al parecer la NASA (y la ESA, y JAXA, y los chinos, y los rusos...) son parte de una megaconspiración mundial y todas las imágenes están trucadas.

Eliminadas las pruebas obvias, la respuesta pasaría por un «¿y qué estarías dispuesto a hacer?»

Tendría que estar dispuesto a gastarse un pastón para ser un turista espacial. Las agencias espaciales acogerán con gusto un chorro de millones para subirle ahí arriba.

Más barato le podría salir montar una expedición a la Antártida para circunnavegar su costa (según ellos el límite externo del mundo) y descubrir que unos presuntos ~142.000 km de circunferencia, se quedarían en apenas ~17.000 km (a una latitud de ~ 65º Sur).

Pero como imagino que lo que quiere es algo de bajo coste, solo nos queda modelizar y observar. Un modelo es una descripción generalmente matemática del objeto de investigación, de tal forma que nos permite deducir características observables y cuantificarlas. No, con esto no va a ver directamente la curvatura de la Tierra, porque es un método indirecto. De un modelo determinado saldrán ciertos resultados; de otro modelo saldrá un resultado distinto. La observación posterior permite decidir cual de los dos modelos está más cerca de la realidad, o si el destino de ambos es la papelera.(*)
(*) Lo mínimo necesario para hacer ciencia es lápiz, papel y papelera. Si haces pseudociencia, te puedes ahorrar la papelera.

La Tierra Plana

Pero una vez en harina, resulta muy complicado tener un modelo de una Tierra plana como Offler manda. Simplemente, porque como toda pseudociencia que se precie, solo hace vagas descripciones sin chicha suficiente como para poder compararlas con la realidad. Lo importante se deja en el aire para que cuando un malvado escéptico comeniños (y globoterrícola) ponga los cuatro números necesarios, y demuestre que cualquier parecido con la realidad es pura coincidencia, el planoterrícola de turno diga que está mal porque hace falta una nueva hipótesis «ad hoc»(*)
(*) que por norma general se acaba de inventar en un ataque repentino de inspiración. Ya tenemos experiencia en esas lides (1) y (2)

Así que tomaré como base lo que se detalla en la Wiki de The Flat Earth Society (TFES), sabiendo que llegará algún planoterrícola diciendo que esos solo dicen tonterías, y que su teoría es la buena de verdad.

La tentación es ponerse a argumentar todo lo que falla en Tierra plana, da para varias entradas; pero por no hacer esto muy largo, aquí va un resumen rápido de principales características, y luego me centro en la chicha necesaria para esta entrada.

La Tierra plana:

• tiene forma de disco, y en su centro está el Polo Norte. El Polo Sur no es un punto, sino que la Antártida es un muro de hielo gigante en el borde del disco, que evita que el agua se caiga. Más allá del muro, unos dicen que el hielo se extiende hasta el infinito, y otros que ahí termina el disco.
• No existe la gravedad, sino una aceleración constante equivalente. Lo dijo Einstein, oiga(*). Y esa la aceleración la provoca la energía oscura del universo(**).
• El disco está quieto, no gira. Las borrascas y anticiclones no son creadas por fuerzas de Coriolis, sino por fuerzas de atracción de otros sistemas celestes(***).
• El Sol no es una bola gigante a mucha distancia, sino una bolita más discreta y mucho más cerca, que gira sobre la Tierra plana, iluminando sólo una parte del disco creando así los días y noches.(****)
• Además, el Sol cambia el radio de su giro desde un trópico hasta el otro, pasando por el ecuador, creando así las estaciones(*****).

(*) La ciencia siempre es errónea, menos aquello que diga un científico famoso nos venga bien. El lector perspicaz habrá detectado que esto es muy habitual en pseudociencia.
(**) La misma energía oscura postulada por malvados científicos tras detectar anomalías en la interacción gravitatoria esa que no existe.
(***) Lo cual parece la descripción de una atracción gravitatoria que no existe.
(****) Lo que no cuentan es cómo el sol puede crear el patrón de iluminación sobre la superficie que realmente se observa. (vía @haplesspete)
(*****) Variación del radio, que no de la velocidad angular, lo que es una violación de la conservación de momento angular. Me da que la energía oscura sería capaz de explicarlo.

Algunos contraargumentos al modelo de Tierra plana se pueden encontrar por aquí.

Entrando en más detalle, vamos a por los cuatro números que necesitamos.

¿Cuánto mide el disco terráqueo?

Según TFES, 25.000 millas náuticas de diámetro (que son 46.300 Km de diámetro, o un radio de 23.150 km). ¿Cómo llegan a este resultado? Pues gracias a Eratóstenes. Sí, el mismo que estimó la circunferencia de la esfera terrestre.

Eratóstenes asumió que la Tierra era esférica, y el sol está tan lejos que la luz que llega a cualquier punto del planeta, llega en la misma dirección. Si en un punto dado observamos que la luz incide con otro ángulo, es porque la superficie de la Tierra se ha curvado. Hay una relación clara entre el ángulo de incidencia de la luz y la curvatura, por lo que se puede estimar la circunferencia total (y deducir el radio o diámetro del globo).

Si entre dos puntos a 926 km hay un ángulo de 7º12', la fracción de 7º12' respecto a una vuelta entera (360º) es la misma fracción que entre 926 km respecto a la circunferencia total, resultando 46.300 km, que como primera aproximación no está mal. Teniendo en cuenta que la Tierra no es exactamente esférica, Eratóstenes sobrestimó el radio medio de la Tierra en un 15%.

Sin embargo, en una Tierra plana con un sol más cercano, la inclinación con que llega la luz es debida a la posición del sol. Es otra interpretación, otro modelo, que lleva obviamente a otras conclusiones.

Pero aquí nos topamos con una trampa de TFES: La distancia del Polo Norte al Sur abarca latitudes(*) desde +90º a -90º (en total: 180º), así que la relación de 7º12' a 180º es la misma que hay entre 926 km y el radio: R=23.150 km, lo que nos da un Diámetro=2·R=46.300 km.
(*) Usar una variable como la Latitud implica estar usando coordenadas esféricas. No parece lo más apropiado si lo que se pretende es negar precisamente la esfericidad de la Tierra.

¡Oh, qué curioso!¡Nos sale el mismo número!

No tan curioso, porque lo que han hecho son las mismas cuentas que Eratóstenes para una Tierra esférica (por eso sale el mismo resultado), pero dicen que el resultado es otra cosa; porque ellos lo valen. Han operado números sin darles ningún sentido, cual piramidólogo aficionado.

El problema es que en un modelo de Tierra plana no existe ninguna relación entre el tamaño del disco y el ángulo con que incide la luz del sol. El disco podría ser más largo, o más corto, y no afectaría al ángulo con el que llegaría la luz en esos puntos, siempre que la altura del sol sea la misma, porque eso es lo que realmente se puede calcular con los datos disponibles: la altura del sol sobre Tierra plana sería de 7330 km.

O no.

Según TFES, el sol [de 32 millas de tamaño] gira a una altura de 3000 millas, que (suponiendo en el mejor de los casos que sean millas náuticas) son 5556 km. Demostrando así que en TFES ni se han molestado en encender la calculadora(*). Por otro lado, he podido encontrar algún video de youtube donde hablan de una altura de 7.000 km, aunque no dice de donde saca el valor.
(*) o que hace falta que incluir el efecto de la energía oscura.

Esta es la razón por la que las pseudociencias en general nunca concretan: porque se detecta en seguida que los datos son inventados. Aún así, a pesar de que el cálculo del radio planoterrícola no tiene sentido, es el dato con el que vamos a seguir adelante; y consideraré las dos presuntas alturas del sol de 5556 km y 7330 km.(*)
(*) Si algún planoterrícola ha llegado hasta aquí, es posible que esté despotricando en desacuerdo. Le agradecería que me diera los valores que él considera correctos (y de donde salen, claro)

Un experimento bueno, bonito y barato

Había alguien que quería hacer un experimento para comprobar por sí mismo que la Tierra es esférica. Descartados los métodos directos (unos por conspiranoia, otros por caros), yo lo que le propongo es hacer una observación experimental, y comprobar qué modelo se ajusta mejor a los datos: si una Tierra plana o una Tierra esférica.

La propia TFES dice que:

The world looks flat, the bottoms of clouds are flat, the movement of the sun; these are all examples of your senses telling you that we do not live on a spherical heliocentric world

(énfasis mío)

El movimiento del sol es un ejemplo que nos dice que no vivimos en un mundo esférico heliocéntrico.

Pues vamos a comprobarlo. Porque según se deduce del modelo de la Tierra plana, el sol NUNCA bajará por el horizonte. En su giro alrededor del eje del Polo Norte, cuando se acerque a nosotros el sol se elevará en el cielo; al alejarse bajará, pero nunca pasará por debajo del horizonte. Según los planoterrícolas, el sol simplemente se aleja (acerca, en el amanecer), y en el momento que aparentemente roza el horizonte, la desaparición (aparición) es solo una cuestión de perspectiva, un efecto óptico.

En cambio, en una Tierra esférica el sol pasará por debajo del horizonte, para subir de nuevo por el lado contrario.

A priori alguien puede pensar que ambas descripciones cualitativas podrían ser equivalentes, y son solo interpretaciones distintas del mismo fenómeno. Pero la potencia de un modelo es poder poner números a estas descripciones, y hacerlas cuantitativas. Son movimientos lo suficientemente distintos como para distinguir cuantitativamente (a través de experimentos u observaciones) entre ambos modelos.

Lo primero que necesitamos es saber nuestra posición en el disco. Para lo cual tiramos de nuevo de TFES y descubrimos que nuestra posición se puede describir en latitud y longitud (*) tal que así:
(*) Sí, de nuevo coordenadas esféricas en un disco plano

• Longitud: Sabiendo las horas de diferencia del mediodía solar respecto a Greenwich [y multiplicando por 15º/hora, añado yo]
• Latitud: corresponde con el ángulo de inclinación de los rayos solares respecto de la vertical, el día del equinoccio, en su punto más alto [es decir, al mediodía solar].

Que no es sino una curiosa forma de decir que latitud y longitud son las mismas que en la Tierra esférica.

Así que, yo por ejemplo, estoy en torno a ~40º N, ~3º O, tanto en la Tierra esférica como en Tierra plana. Pero en Tierra plana lo que necesito realmente es mi distancia respecto al centro, el Polo Norte. Usando la misma matemática planoterrícola, si de 90º a -90º hay 23.150 km, desde el Polo Norte a mi posición hay 6.398 km.(*)

También necesito el radio de la circunferencia que describe el sol sobre la superficie. Durante los equinoccios, el sol está sobre el ecuador, a la mitad del radio. El sol gira trazando circunferencias con un radio de 11.575 km.(**)

Durante los solsticios, en verano (trópico de Cáncer, 23º26'14'' N) gira a 8.561 km del Polo Norte, y en invierno (trópico de Capricornio, 23º26'14'' S) a 14.589 km. (***)
(*) podría calcular esa misma distancia según una Tierra esférica, para descubrir que es del orden de ~5.500 km. Pero claro, es matemática globoterrícola, faltaría la corrección por acción de la energía oscura.
(**) ~10.000 km globoterrícolas.
(***) ~7.400 km, y ~12.600 km globoterrícolas, respectivamente.
Sabiendo que la altura del sol es 5556 km (o alternativamente, 7330 km) sobre la superficie, la simple trigonometría nos permite calcular a qué altura sobre el horizonte se observará el sol a cualquier hora del día en estos tres casos desde mi punto de observación.

No mucho más complejas son las ecuaciones para calcular la altura del sol sobre el horizonte en una Tierra esférica, conocidas la declinación y ascensión recta en un día determinado.

Veamos:

Efectivamente, en una Tierra plana al atardecer el sol baja hacia el horizonte, ¡pero no lo roza ni de lejos, no baja más de 15~20º en el mejor de los casos!. Mientras, en una Tierra esférica, el sol pasa por debajo del horizonte.

Y en general podemos ver que hay una enorme diferencia entre el movimiento del sol en una Tierra plana frente a una esférica. ¡Perfecto! Justo lo que necesitamos para poder hacer unas medidas, y comprobar que, como mínimo, uno de los dos modelos es erróneo.(*)
(*) Un lector avispado observará cómo en el punto más alto durante los equinoccios, el modelo de Tierra esférica predice que en mi posición la luz del sol llegaría a unos ~50º sobre el horizonte. Que se traduce en 90-50=40º respecto de la vertical, coincidiendo con la latitud del lugar. Recordemos que esa es precisamente la definición de latitud; pero el modelo de Tierra plana no es capaz de reproducir tal definición. Es lo que tiene inventarse las cosas, que luego no encajan ni a martillazos.

¿Y cómo medimos la altura del sol sobre el horizonte? ¿Qué tipo de instrumentación avanzada necesitamos? ¿Estará dentro de nuestras posibilidades económicas?

El cuadrante

Por el módico precio de un eurillo de nada, podemos comprar un transportador de ángulos, buscar un hilo y algo pesado, para construir un instrumento conocido y utilizado satisfactoriamente desde hace siglos: un cuadrante.

Átese el hilo a un objeto pesado, y cuélguese de borde superior del transportador de ángulos. Añádase un par de cartones con agujeros a modo de «mirillas». Ahora, podemos mirar a través de las mirillas hacia el objeto de interés (generalmente, un astro), y la plomada marcará el ángulo que hemos tenido que girar el artilugio.

NOTA IMPORTANTE: Mirar directamente al sol es perjudicial para los ojos. Para apuntar al sol sin hacerse daño en la vista, es mejor proyectar la luz que pasa por la primera mirilla, y observar en la segunda dónde cae el punto de luz. Cuando esté centrado en la segunda mirilla, estaremos apuntando correctamente al sol.

Medidas reales

~7h de la mañana (5h UTC), y un solazo asciende desde el horizonte.

Preguntaba al principio al potencial lector planoterrícola «¿qué estarías dispuesto a hacer?». Espero que entre esas cosas esté madrugar un poco, irte con un cuadrante, y emplear un día entero midiendo la altura del sol. Búscate un sitio con buena visión del horizonte, sin montañas, colinas, casas,... al menos para el amanecer y atardecer. Luego, es sol se ve desde cualquier parte. No es imprescindible medir en un sitio fijo, puedes moverte al pueblo de al lado sin problema. Pero tampoco salgas de viaje y midas en Badajoz por la mañana, y en Barcelona por la tarde.

Una observación cada hora es suficiente. No hace falta que sea estricto, pero intenta abarcar el día completo mientras el sol esté visible.

~8h de la mañana (6h UTC), y el cuadrante me marca unos imposibles 8º grados en una Tierra plana. Esto no hay perspectiva que lo arregle.

Yo ya lo hice. Un 22 de Julio, con un sol a ~20º de declinación y ~8h10' de Ascensión Recta(*). Hasta que se nubló. Y que leches, era verano y me fui a por una muy merecida cerveza.
(*) En Tierra plana, el sol describiría circunferencias de 9003 km de radio

Y mis conclusiones son que:

• Las observaciones no coinciden con el modelo de Tierra plana. No es capaz de reproducir la realidad.
• El modelo de Tierra plana ni siquiera tiene coherencia interna, porque no es capaz de reproducir ni definiciones elementales (como la de latitud).
• El modelo de Tierra esférica sí reproduce las observaciones experimentales. De momento, falso no es.

Sé, querido lector planoterrícola, que este experimento no te habrá convencido.

Será que los fabricantes de transportadores de ángulos están en la conspiración. O que no he tenido en cuenta la energía oscura. O que las leyes de la óptica tampoco son como nos han contado hasta ahora, para desgracia de Maxwell. O todo a la vez. Algún buen pseudocientífico ya se inventará una explicación «ad hoc», un parche más.

Porque tú lo que realmente quieres es ver directamente con tus ojos la curvatura de la Tierra. Para tí, los senos y thetas son otra cosa, no engañabobos de la ciencia oficial. Si así piensas, entonces sólo me queda aconsejarte que vayas ahorrando dinero para que alguna agencia espacial te lleve algún día de turista espacial.

Más no puedo hacer.

O no estoy dispuesto a hacer.

¿Quién cree en las puertas?

Didáctilos, un filósofo de Efebia, hablaba de cómo la gente cree en diversos dioses, pero nadie cree en las puertas.

En la wiki de TFES, definen «Flat-Earther» como «aquel que cree en la teoría de la Tierra plana». Yo, sin embargo, no creo en una Tierra esférica.

Porque no hace falta creer en lo que existe.

El Mundodisco, por muy imaginario que sea, tiene su gracia. Tiene incluso una coherencia interna dentro de su lógica fantástica... pero, ¿la Tierra plana? Venga, no jodas (disculpen mi klatchiano).

Recuperando artículos

Hoy me ha dado por recuperar unos artículos que en su momento aparecieron en la Circular Escéptica, un boletín on-line del Círculo Escéptico.

Hace ya tiempo que no se editan números nuevos, así que los he colgado en Scribd para tenerlos localizados y disponibles para su lectura. Aquí les dejo los enlaces correspondientes.

11-S: Cómo montar una conspiración

La ciencia es incompatible con la fe

El hueco de dios en la naturaleza

La idea feliz

La conspiración del neutrino

Debe quedar ya poca gente a estas alturas que no haya oído hablar de los neutrinos superlumínicos. Primero fue el anuncio de unos resultados bastante chocantes, en los que un grupo de científicos midio el tiempo de vuelo de neutrinos generados en el CERN (Suiza), y que llegaron al laboratorio de Gran Sasso en Italia. Del experimento se dedujo una velocidad de estas partículas que superaba la velocidad de la luz.

Exactamente, la superaba en 7 km/s, lo que supone un 0.0027% mayor que la velocidad de la luz en el vacío (299.800 km/s). Una nimiedad, vaya, si no fuera porque según la teoría de la relatividad especial de Einstein no deberían poder. De ser cierto un resultado así supone una revolución. Como también lo sería comprobar que los muertos hablan a través de grabaciones en cintas, que los extraterrestres nos visitan, que la telepatía existe, que el agua tiene memoria... en fin, todas esas cosas.

Pero la diferencia entre la ciencia y pseudociencia está en el uso del pensamiento crítico, y ante afirmaciones sorprendentes, se requieren pruebas rigurosas. Por eso se inició un debate sobre el experimento, con una gran mayoría de gente pensando que algo fallaba en el experimento. Porque quienes hemos estado en laboratorios sabemos por propia experiencia que cuanto más sorprendente es el resultado, mayor probabilidad hay de que haya fallado algo. La otra opción es que te den el Nobel.

-"¡Detractores!", pensarán algunos.

Pero lo cierto es que incluso los científicos del experimento saben la importancia de que las pruebas tengan un rigor a prueba de bombas. Es por ello que ellos mismos han repasado una y otra vez qué ha podido ir mal. Contrasta esta actitud con aquellos que con una grabación ruidosa, o un video de una luz desenfocada, o dan de beber agua y esperan a ver que le cuenta un paciente deseoso de curarse, que reniegan de analizar críticamente qué han hecho, o  si hay otras explicaciones plausibles a sus fenómenos.

Y así, al final han identificado dos posibles errores en el experimento. Uno, que tendría que ver con la sincronización de relojes entre el origen y destino de los neutrinos; y otro, con una fibra óptica mal ajustada. Dos errores que pueden parecer casi triviales, y de tan triviales, que los científicos pueden parecer chapuceros... pero son el tipo de error que vuelven a uno loco y cuestan mucho detectar. (Leyes de Murphy son así, qué le vamos a hacer)

Aún así, con fallos (más o menos triviales) hay que tener en cuenta la precisión con que se estaba midiendo: midieron una variación del 0.0027% de la velocidad de la luz. En error de tres partes en 100.000. No es moco de pavo, y precisamente por ello, un ajuste experimental que no sea óptimo puede jugar una mala pasada. Los detalles de los fallos los conocerán los científicos, pero desde luego no es que la fibra óptica mal ajustada estuviera totalmente desconectada sin que a nadie se le hubiera ocurrido revisarla.

Cuando se conoció el resultado original del experimento, a pesar de las reservas conocidas, los misteriólogos de siempre salieron raudos y veloces a dar cuenta de la buena nueva y a elucubrar con viajes en el tiempo y demás. Divulgación, que inevitablemente tiende más a la ciencia ficción que a la ciencia real, tampoco algo por lo que criticarles. Pero claro, la siguiente sección del programa la completamos con ocultamientos gubernamentales de OVNIs, con conspiranoias del 11s, con lo malas que son las farmacéuticas, o que los malvados científicos oficiales de bata blanca como los que miden velocidades superlumínicas de los neutrinos se niegan a aceptar la existencia de la telepatía. El espectador ve algo que podría catalogar como "ciencia respetable", y ya ha bajado la guardia para que en la siguiente sección le metan ración doble de pseudociencia.

Y así, un día despues de conocerse los posibles fallos en el experimento de los neutrinos, uno se encuentra con seguidores de afamados misteriólogos sugiriendo que se nos quiere ocultar la verdad. O es una conspiración, o los científicos son unos inútiles por no ver antes unos fallos tan "simplones". Que qué raro que el fallo esté en un cable mal conectado. Que es una verdad incómoda que había que censurar. Que alguien de arriba no quiere que estas cosas salgan a la luz. Creo que se hacen a la idea.

Que todas esas ocurrencias tengan o no algún sentido no importa. El pensamiento conspiranoico adquirido no se preocupa de esas cosas ¿Por qué sería una verdad incómoda violar la ley de relatividad especial? ¡Cualquier científico estaría dando palmas con las orejas de poder confirmar la violación de la teoría de Einstein, y modificarla! Eso significa avanzar en el conocimiento, y a nivel más egoista, supone fama e incluso hacerle una visita al Rey de Suecia.

Para mí, el caso de los neutrinos superlumínicos supone un ejemplo de cómo hay que exigir pruebas rigurosas antes afirmaciones extraordinarias, independientemente de si hablamos de ciencia o pseudociencia; de cómo en ciencia hay que aplicar el mismo escepticismo y pensamiento crítico, ...que las pseudociencias tanto aborrecen y rechazan, y por lo cual nunca servirán para avanzar en el conocimiento.

@Antisistema, pero con twitter

Resulta que estamos controlados por un "Nuevo Orden Mundial" (New World Order, NWO). Controlan los periódicos, las televisiones, manipulan a las masas desde cualquier medio para que aceptemos como borregos lo que nos dicen sin cuestionarlo.

Afortunadamente, existe una aldea de irreductibles galos, que tienen sus plataformas en internet, desde donde se organizan para denunciar tales tejemanejes, y darnos la pastillita roja que nos sacará del Matrix en que estamos metidos.

Y estos valerosos adalides de la justicia, la verdad y ante todo, el antisionismo, se comunican por unos medios tan ingeniosos que a ningún miembro del megapoder mundial y parte del extranjero se le hubiera ocurrido nunca controlar: Las redes sociales

Stop-secretS.com. Plataforma activista antisistema internacional. La mayor comunidad anti N.W.O. !Únete a la resistencia¡

Antisistema..., pero con twitter.

(Seguro que las KDDs son en un McDonalds)

Conspira como puedas, 33 y 1/3

Algunos dicen que la versión oficial del 11-S tiene muchas preguntas que contestar. Lo divertido es que las respuestas que esas mismas personas dan, hacen surgir otras preguntas, a cada cual más absurda.

Pero cuando te dicen cosas como

La version oficial se fue montando sobre la marcha. Por ejemplo, como oficialmente no se sabía qué había impactado contra el pentagono, echaron mano del vuelo 77 de AA

uno se queda sin preguntas, y pasa directamente a imaginarse la escena:

Sube el telón

11 de Septiembre de 2001.
13:36 zulú (9:36 EDT)
Búnker por debajo del Pentágono, Arlington (Virginia)

DICK CHENEY se halla en una habitación del búnker bajo el Pentágono. Faltan apenas unos segundos para que el Pentágono reciba un impacto inesperado. Está hablando por teléfono con GEORGE BUSH, que se halla volando en el Air Force One. Tiene el manos libres conectado, y un teléfono rojo de los de marcación por ruleta a su lado, mientras un televisor al fondo muestra imágenes de la CNN sin sonido

CHENEY (Hablando al teléfono) : Sí, Silverstein. Es judío, se lo habrá soplado algún contacto del Mossad y pide...

(Retumba el edificio, suena una explosión lejana, y las luces parpadean)

BUSH: (voz metálica, de teléfono) ¿Dick? ¿Sigues ahí?
CHENEY: Eh... sí, sí. No sé que ha pasado. Parece que ha habido una explosión por ahí arriba.

(DONALD RUMSFELD entra en la habitación con una sonrisa de oreja a oreja, y haciendo el símbolo de la victoria)

RUMSFELD: ¡Dick! ¡Esto va sobre ruedas!
CHENEY: Un momento Señor Presidente, es el Secretario de Defensa (le mira fijamente)
RUMSFELD: Acabamos de...ejem... "los terroristas" (hace las comillas con los dedos) han alcanzado un tercer objetivo. ¡El plan va como la seda!

(Se dirige al mueble bar frotándose las manos para buscar una botella de champán, mientras DICK CHENEY le sigue atónito con la mirada, con cara de desconcierto)

CHENEY:¿Alcanzado? ¿Objetivo? ¿De qué carajo hablas, Donald?
BUSH: ¿Tercer objetivo? Oye Don, ¿No te referirás a...?
RUMSFELD:(saca la botella, e intenta abrirla) Al Pentágono, claro. Era el tercer objetivo según el plan.

(DICK CHENEY ejectuta un facepalm bien sonoro)

CHENEY:¡¿Cómo?! .

(Suena un facepalm metálico, que viene del teléfono)

BUSH: Pero si dijimos...
CHENEY: ¡Ese no era en el plan!

(Pausa dramática en la que DONALD RUMSFELD deja de luchar con el corcho de la botella, que tiene entre las piernas, sube la cabeza y mira con cara de desconcierto a DICK CHENEY. Éste le devuelve una mirada asesina. El teléfono también le pone una mirada asesina. O se la pondría, si pudiera. DONALD RUMSFELD reacciona y habla con voz alegre y sonriendo)

RUMSFELD:¡Venga ya, tíos!. Me estáis vacilando.

*¡PLOP!* (La botella se descorcha sola, y se derrama sobre sus manos y la alfombra)

CHENEY: No. (Tan seco y cortante como la guadaña de La Muerte)
BUSH: Don, esa parte del plan la deshechamos en la ultima reunión.
CHENY: Por inverosímil. Tirar un misil, y decir que fue un camión bomba. ¿A quién se le ocurre?
BUSH: Bueno... a mí no me parecía tan descabellado...

(DONALD RUMSFELD mantiene la sonrisa un segundo, la cambia rápidamente a una de terror... y ejecuta otro sonoro facepalm. Posteriormente se seca el champán de la frente con la manga de la camisa)

RUMSFELD: ¡Mierda!. He estado demasiado ocupado con el NORAD, desorganizándoles para que hoy no despegaran a tiempo, y se me olvidó cancelar esa parte del plan. Joder, que marrón.
CHENEY: Bueno, que no cunda el pánico, veamos qué podemos hacer. Habrá que explicarle algo de los sucedido a la prensa. Esto no lo teníamos previsto en el guión que les dimos.

(Un militar llama a la puerta y entra un poco en la sala)

MILITAR: (Se cuadra y saluda) Con su permiso, Señor Secretario, es importante...

(DONALD RUMSFELD sale de la escena con el militar)

BUSH: Sigamos el plan original. Diremos que fue un camión bomba.
CHENEY (con voz cansina): ¿Y cómo justificamos que un terrorista ha aparcado un camión bomba en el edificio más protegido del mundo? Eso es lo que nos llevó a descartarlo, Señor Presidente. Además, la autopista está atascada a estas horas. ¡Suerte tendremos si no había turistas, y no han filmado el misil pasando sobre sus cabezas!.

(DONALD RUMSFELD entra de nuevo)

RUMSFELD: Malas noticias. Me informan de que hay un atasco del copón frente al Pentágono, y parece ser que algunos conductores están murmurando algo de un misil. Y además, desde el aeropuerto de Dulles informan de que han detectado un caza moviéndose a gran velocidad cerca del Pentágono
CHENEY: ¡Mierda! Nos han pillao con el carrito del helao

(DICK CHENEY suspira, se quita las gafas lentamente, con cansancio, mientras se lleva la otra mano al puente de la nariz, pensando, concentrándose)

CHENEY: A ver. Ya lo tengo. Si el plan va según lo previsto, y no hay más sorpresas (remarcando las palabras y mirando a DONALD RUMSFELD), ahora mismo deberíamos tener un avión secuestrado e ilocalizable en el espacio aéreo. Un... (trata de recordar) American. Creo que era un American que salía de Dulles. Diremos que ese avión se ha estrellado en el Pentágono.
RUMSFELD: ¡Ostis, Dick! Eres un genio. Sí, hasta suena coherente. Dos aviones en las torres gemelas, ahora otro en el Pentágono... Ahora entiendo por qué eres el segundo de George.
BUSH: Además, el sonido de un misil es como el de un avión. Más de un testigo creerá que oyó pasar al avión, seguro. Y la detección el radar de Dulles confirmará que era un avión, y que se estrelló en el Pentágono.
RUMSFELD: Buen punto. Todo encaja y parece coherente. Casi que tendríamos que haberlo planeado así desde el princpio, ¿verdad? ¡ja, ja! .
CHENEY: Aún así, es difícil confundir un misil de 10 metros de largo con un un avión de casi 50 si te pasa 20 metros por encima de la cabeza. Habrá que hacer algo con los que han visto el misil.

(DONALD RUMSFELD esboza una sonrisa, coge el teléfono rojo al lado del manos libres, y marca un número en la ruleta)

(tuuuut .... tuuuuut ...)

RUMSFELD(voz alegre, y con tono de paleto): Sí... ¿Está el FBI? Que se ponga. (Canturrea) na narananiaaaa... ¿Sí? Hola, soy Donald (...) Sí, muy bien, gracias, ¿y tú? (...) ah, mira que majo tu chico. ¿Cuantos años tiene ya? (...)Ah, pues dentro de nada le podemos enchufar por aquí ¡je, je! . Este(...) ah (...) sí, tranquilo, lo del submarino que no flota ya lo arreglamos la semana pasada, sí (...) Na, una tontería de nada. Te vas a reir: ¡Que resultó ser un barco! (...) Sí, joer, con lo que nos costó hundirlo, sí.

(DICK CHENEY ejecuta un facepalm bien sonoro. Suena otro facepalm desde el teléfono)

CHENEY (hablando para sí mismo) : ¡Será cenutrio!
RUMSFELD (Normal): (carraspea) Mira, que necesito un par de hombres de los tuyos (...) ¿Dirección? El Washington Boulevard (...) eso es, delante del Pentágono. (...) ¡uh! pues un centenar más o menos, todo al que vean por allí (...) Eso, y que lo que vieron realmente fue un avión. (...) Vale, gracias (recupera la voz alegre y de paleto) Por cierto, a ver si me pasas la dirección del sastre (...) sí, ya sabes que pirra el negro (...) venga (...) vale (...) Vale, te debo una... venga, adiós...adiós.

(Cuelga el teléfono y mira con cara triunfante a DICK CHENEY)

BUSH: Ahá, la típica misión de borrado de memoria. Todo un clásico, infalible.
RUMSFELD: Eso mismo.
BUSH (dubitativo): Sí, pero... la gente querrá imágenes. Querrá ver los restos del avión. Maldita curiosidad, que no se conforman con lo que dice la prensa libre e independiente a nuestro servicio.
RUMSFELD: Pues los plantamos. Tenemos restos de aviones en el sótano. Ahora mismo ordeno que salga un grupo de personas, y mientras fingen buscar restos, los van dejando caer.
BUSH: Ah, ya. La típica maniobra de plantación de pruebas. Todo un clásico, infalible.
RUMSFELD: Exacto. Lo llevas por debajo de la chaqueta, miras disimuladamente a los lados mientras silbas, y lo sueltas a la par que toses para dismular el ruido del tren de aterrizaje al caer. Y luego te haces el sorprendido "Andá, ¡mira lo que me he encontrado!". Ah, y también podemos contratar un fotógrafo experto en hacer fotomontajes indetectables.
BUSH: Bien... bien... pero la gente es además muy morbosa, seguro que nos piden imágenes de las cámaras de seguridad para ver el avión estrellándose contra la fachada.

(Pequeña pausa)

RUMSFELD: Pues se lo decimos al tío este de la Disney que hemos contratado, para que falsifique los videos.
CHENEY:(hace un gesto de contrariedad) Va a ser que no.
RUMSFELD: ¿Cómo que no? Si ha sido capaz de diseñar digitalmente aviones falsos e introducirlos en la señal en directo de las televisiones de todo el mundo, no le costará generar un avión estrellándose en el pentágono en diferido, en una sola cámara. Podemos, incluso, retener las imágenes varios años por si quiere hacerlo con tranquilidad y no quiere agobiarse.
CHENEY: Verás, Donald. Nuestro hombre de la Disney, sufrió un... accidente. Estaba en la cocina, la corbata se le ha enganchado en tambor de la lavadora, que por casualidad estaba en el programa de centrifugación, y... (Gesticula con la cara, abriendo los ojos, inclinando la cabeza, sacando la lengua hacia un lado, y sube su mano tirando de la corbata)
BUSH: Sí, el típico accidente casero. Todo un clásico, infalible.
CHENEY (con tono condescendiente): El problema, Donald, es que de estos artistas no te puedes fiar. Hoy te hacen el trabajo, pero mañana quieren que se les reconozca el mérito en público, que se sepa lo bueno que fue su trabajo, ya me entiendes. Mañana, en un mes, en un año, terminará por confesarle a un colega "Oh, sí, eso lo hice yo. ¿A que quedó bien?", y se descubre el pastel.
RUMSFELD: Vaya, entiendo.
CHENEY: Bueno, no importa, ya pensaremos algo. Podemos retener las imágenes unos años con alguna excusa, y seguro que nos da tiempo a buscar otra persona que lo haga...
BUSH: ...y que sufra otro típico accidente casero después.
CHENEY: Por supuesto, Señor Presidente. No queremos cabos sueltos.
RUMSFELD: Bueno... entonces contratiempo arreglado. Fue un avión. Un... American, habías dicho.
CHENEY: Sí. Creo que el vuelo setenta y algo... (rebusca entre los papeles) ¡Ah! El Setenta y siete. Eso, era.
RUMSFELD: Vale pues. Creo que sería bueno que saliera a decirle algo a la prensa.

(DICK CHENEY y GEORGE BUSH , juntos): Sí.

RUMSFELD: Vale, pues os veo luego. Te debo una Dick (le levanta el pulgar a DICK CHENEY, y camina hacia a puerta)
CHENEY: Con que no metas más la pata me vale, Donald. (Para sí mismo) Cenutrio...
RUMSFELD: ¡¡Oki-doki!!.

(DONALD RUMSFLED sale de la escena. DICK CHENEY resopla y se repanchinga un segundo en el asiento, antes de reincorporarse)

CHENEY:Señor Presidente, respecto a lo que hablábamos de Silverstein...
BUSH: Ah,sí, el judío. Lo dejo en tus manos, negocia como quieras con él. Veo que lo tienes todo controlado, y bien atados todos los detalles. Un gran trabajo, permíteme felicitarte. Igual le damos a Halliburton un par de contratos extra cuando vayamos a Irak, ¿eh, Dick? (y el teléfono le guiña un ojo. O se lo guiñaría, si pudiera)
CHENEY: Sí, eso estaría muy bien, Señor Presidente. Gracias.
BUSH: Ha sido toda una suerte tener ese American secuestrado ahí arriba en el momento justo. Nos ha salvado el culo.
CHENEY: Sí, Señor Presidente.
BUSH: Bien, Dick, te veo esta noche entonces.
CHENEY: Hasta entonces, Señor Presidente.

(DICK CHENEY dirige el dedo al teléfono para terminar la conferencia, pero le interrumpe GEORGE BUSH)

BUSH: ¡Ah! Una última cosilla, Dick.
CHENEY (con voz cansina): ¿Sí, Señor Presidente?
BUSH: ¿...Y para qué habíamos secuestrado el American 77?

(Baja el telón)

Olimpiada Lunar

La exploración de la Luna comenzó con un pequeño paso para un hombre, allá por Julio 1969. Y terminó en Diciembre 1972 con... un lanzamiento de martillo:



Dicen los Apoloescépticos que el hombre no ha llegado a la Luna. Que todo fue un montaje, una grabación hecha en la Tierra. Pero claro, una grabación así tiene un serio inconveniente, y es que, aunque se pueda simular el paisaje lunar y disfrazar a unos actores como astronautas, lo que no se puede simular es la gravedad lunar, que es aproximadamente un sexto de la terrestre (g_T=9.81 m/s² en la tierra, g_L=1.62 m/s² en la Luna). Así que el truco al que dicen que se recurrió fue ralentizar las imágenes.

Pero, ¿es posible simular el movimiento en una gravedad 1/6 de la terrestre sólo con ralentizar las imágenes? Pues más o menos... pero no exactamente.

Un poco de matemáticas

Supongamos que un actor disfrazado de astronauta está en un plató decorado con paisajes lunares, y para terminar su actuación, decide tirar un martillo, el cual describe un tiro parabólico. El tiro parabólico es la combinación de dos movimientos:

-Uno uniformemente acelerado en la dirección vertical sometido a la acción de la gravedad,

- Y otro rectilíneo uniforme en la dirección horizontal.

Ambos movimientos se pueden describir matemáticamente como:


El equipo de producción decide entonces ralentizar la reproducción de la grabación en un factor raíz de 6 (2.44 veces), por lo que las ecuaciones se pueden reescribir con un tiempo retardado, que vamos a llamar "tiempo lunar", tal que en un segundo lunar, el vídeo reproduce 1/2.44 segundos reales:


Matemáticamente, es indistinguible dividir el tiempo por 2.44, de dividir la gravedad entre 6 y la velocidad entre 2.44. Un espectador verá el video y creerá estar viendo tiempo real, pero como si la gravedad y la velocidad del objeto fueran menores. Entonces ralentizar un movimiento vertical sobre la Tierra en un factor raíz de 6, simularía la gravedad lunar de un objeto cuya velocidad inicial fuera además un factor raíz de 6 más lenta.

Y lo mismo ocurre en el sentido horizontal, de forma que un objeto en trayectoria parabólica sobre la Tierra (e ignorando el rozamiento con la atmósfera), al ser reproducido 2.44 veces más lento, equivaldría a un objeto en trayectoria parabólica con una velocidad 2.44 veces más lenta moviéndose en un campo gravitatorio 6 veces menor que el terrestre. Hasta aquí, de momento, parece que las matemáticas podrían dar credibilidad al argumento Apoloescéptico.

Análisis del video

En el mundo del misterio y la conspiranoia, cuando hablan de análisis de imágenes, se suelen referir a cambiar el brillo, el contraste, pasar filtros de colorines al tuntún para... bueno, normalmente para que la pareidolia haga aflorar fantasmas, poder decir cosas raras sobre pixelados, o descartar con un 99% de seguridad que no hay un fraude.

Nosotros vamos a coger el video del lanzamiento de martillo (gentileza de http://www.apolloarchive.com, sección multimedia) y vamos a hacer algo mucho menos vistoso: anotar el tiempo, y la posición en píxeles del martillo en varios fotogramas.


t_____px__py
20.64 237 98
20.84 236 81
21.04 229 71
21.92 213 40
22.16 212 37
22.32 208 33
22.56 206 32
22.72 202 29
23.04 199 29
23.12 198 28
23.28 194 29
23.48 193 31
23.60 188 32
23.80 187 33
24.16 182 40
24.60 177 50

Ahora la primera pregunta que hay que hacerse es ¿qué representan estos datos? ¿Representan posición x e y, distancia y altura? ¿Podemos compararlos directamente con una trayectoria parabólica? La respuesta es No, todavía. Nosotros somos más lentos que Santiago Camacho para esto de sacar conclusiones, y nos gusta torturar los datos primero. Que para eso somos malvados científicos escépticos comeniños amantes de la barbacoa.

Una fotografía (o un fotograma) representa en 2 dimensiones un escenario. Se pierde la información de profundidad. Por ello, no es posible conocer directamente distancias, a menos que se disponga de datos externos. Un parámetro importante de una cámara es el llamado Campo de Visión (Field Of View, FOV), que indica qué ángulo de visión ocupa la imagen. Los píxeles que hemos anotado representan la posición angular (en vertical y horizontal, o más bien, en altitud y azimut) respecto del centro de la imagen.

Dicho de otra forma, si tengo la cámara centrada apuntando a un sitio concreto, y quiero centrarla en otro punto, entonces deberé girarla hacia los lados(en horizontal, en azimut), y hacia arriba/abajo (en altitud) un ángulo determinado. Si conociera de otra forma la distancia que separa la cámara de los objetos a los que he apuntado, entonces sí que podría calcular y conocer la distancia lineal entre ellos.

El problema, sin embargo, es que estas distancias angulares las hemos tomado en unidades de "píxeles", unidad que nadie reconoce como la adecuada. Necesitamos "traducir" estos píxeles a unidades de ángulos (grados o radianes, según gustos), lo que se llama calibrar la imagen. Para ello necesitamos saber cuantos grados ocupa la imagen o parte de ella, y relacionarlo con los píxeles que ocupa. Y para ello se necesitan datos conocidos por otros métodos, como son el tamaño del módulo lunar, y la distancia de la cámara a él.

Usaremos las imágenes de la sonda Lunar Reconnaissance Orbiter (LRO), puesta en órbita en Junio de 2009. Entre sus equipos destaca la Lunar Reconnaissance Orbiter Camera (LROC) que está fotografiando la superficie de la Luna con una resolución de hasta 0.5 m/píxel. Y no han tardado en echar un vistazo a las zonas donde aterrizaron las Apollo.

EAquí tenemos la zona de Taurus-Littrow, que es donde ("presuntamente", dirían los apoloescépticos) aterrizó el módulo lunar de la Apolo 17. (La imagen original sin etiquetas es un archivo de 250 MB de peso, que se puede encontrar aquí).

En esta imagen podemos medir la distancia en píxeles desde el LRV (el Rover, el vehículo desde donde se grabaron las imágenes de forma remota) hasta el Módulo Lunar (LEM), y sabiendo que la resolución de la imagen es de 0.53 metros por píxel, llegamos a la conclusión de que entre el LRV y el LEM hay 130 metros de distancia.

Ya tenemos uno de los datos necesarios.

Para conocer el tamaño del LEM, podemos acudir a la NASA directamente.

The distance between the ends of the footpads on opposite landing legs was 9.4 m.

Entre una pata y su opuesta (en diagonal) hay 9.4 metros. Eso hace que entre las patas contiguas, la distancia sea de 9.4 divido de raíz de 2 (más o menos, 6.647 m.)

Si la distancia visible entre las patas opuestas del LEM en los fotogramas correspondiera con la diagonal entre una pata y la contraria, a 130 metros supone un ángulo de visión de 4.12º.

Pero como todo aquel que sea ligeramente perspicaz habrá notado, en el vídeo el LEM está girado respecto de esa posición, por lo que vamos a intentar afinar un poco más, aunque sabiendo ya en qué orden de magnitud nos movemos.

Podemos medir en píxeles la distancia angular entre las patas exteriores, y la pata central. Y vamos a hacer una aproximación, que es suponer que la tangente de un ángulo pequeño(en radianes) es aproximadamente igual al propio ángulo. Esta aproximación es correcta sólo cuando el ángulo considerado es pequeño, entendiendo por pequeño que el ángulo es mucho menor de un radián, y en nuestro caso, sabiendo que el máximo ángulo de visión posible es 4.12º, el error cometido en la aproximación es del orden del 1.7 por 1000 (el 0.17%)

4.12º son 0.0719 radianes, y tg(0.0719)=0.072

Así, se puede calcular que la relación que hay entre las distancias angulares entre las patas, y el ángulo en que el LEM está girado respecto a la cámara; que es 55.43º (se deja como ejercicio para el lector comprobar que la relación es correcta, yo les dejo el esquema)

Conocido el ángulo que está girado el LEM, se puede ahora calcular el ángulo real que ocupa, resultando que son 4.077º. Y sabiendo que esos 4.077º ocupan 126 píxeles de la imagen, llegamos por fin a que cada píxel representa una distancia angular de 0.03236º.

Todo este laborioso proceso (que seguramente más de uno piense que ha sido más largo que un día sin pan), ha sido sólo para calibrar la imagen, y poder relacionar unas unidades arbitrarias como son píxeles, con unidades más de "de mundo real" por decirlo de alguna manera. ¡Pero todavía tenemos que relacionarlo con distancias y alturas lineales para poder analizar un tiro parabólico!

Ya ven. Analizar o estudiar imágenes para llegar a alguna conclusión útil es algo más complicado de lo que cuentan en Cuarto Milenio y similares. Y lo que nos queda.

Si repasamos lo que hemos hecho hasta ahora, tenemos unos datos que nos indican "la dirección" en que tenemos que mirar en cada instante de tiempo. Y sabemos que nuestro astron... perdón, actor disfrazado de astronauta, está a unos 130 metros.

Ahora es cuando relacionamos las distancias angulares con el movimiento de un tiro parabólico. El movimiento temporal del azimut está relacionado con el movimiento en horizontal, y por tanto, se parece mucho a un movimiento rectilíneo uniforme, no afectado por la aceleración gravitatoria. Se parece, pero no lo es del todo. Pero eso es debido a que aún hemos de encontrar la relación entre el movimiento lineal que realiza el objeto, y el movimiento angular que queda impreso en la imagen.

Partiendo del instante inicial, tras un intervalo de tiempo t, el objeto se habrá desplazado en el plano horizontal una distancia Vx·t, siendo Vx su velocidad en el plano, y lo hará en una dirección respecto de la que está apuntando la cámara. Con un poquito de trigonometría (¡qué sería de nosotros sin ella!), podemos relacionar el ángulo de observación en azimut (ω) con la velocidad horizontal del objeto (Vx) y el ángulo de dezplazamiento respecto de la cámara (θ):



Por su parte, el movimiento temporal en altitud describe una parábola, y como cabe esperar, está relacionado con el movimento en vertical, afectado por la gravedad. Del paso anterior, sabemos ya cómo calcular la distancia horizontal que separa el objeto de la cámara, y también sabemos cómo debe comportarse el movimiento vertical; entre ambos movimientos podemos entonces saber qué ángulo de altitud debería mostrar a la cámara en cada instante de tiempo:


Y así, por fin, tenemos unas ecuacioncillas,o un modelo de cómo aparece en una cámara un movimiento parabólico, que se describe con unos parámetros clave:

- La distancia al punto inicial de lanzamiento (r0)
- El azimut inicial (ω0)
- La altitud inicial (Φ0)
- La velocidad horizontal (Vx)
- El ángulo de desplazamiento horizontal (θ)
- La velocidad inicial en vertical (Vy)
- La aceleración gravitatoria (g)

De esta forma estamos en disposición de comparar los valores "teóricos" que proporciona este modelo, con nuestros valores "experimentales" deducidos de las imágenes.

¿Y eso cómo se hace? Pues calculando los valores de los parámetros tales que el modelo reproduzca de la forma más fiel posible los datos experimentales, y posteriormente se comparan con valores conocidos de similares circunstancias.

Son varios parámetros, y varios datos, y hacerlo "a mano" es simplemente impensable. Habitualmente, los programas de tratamiento de datos poseen rutinas que hacen esta labor por nosotros, de forma que sólo hay que indicar cuales son los datos experimentales, cual es el modelo teórico, y cuales son los parámetros que debe calcular.

Tomemos nuestros datos tal cual los hemos cogido; es decir, supongamos que el tiempo transcurrido es real. El único parámetro que dejaremos fijo es la distancia inicial, que son 130 metros. El resto se calculan y el resultado es el siguiente:


Siendo los puntos los datos extraidos del vídeo, y las líneas continuas el modelo según los parámetros calculados, de los cuales resalto dos: la velocidad del objeto en horizontal (Vx=10.8±2.4 m/s), y la aceleración de la gravedad (g=1.720±0.051 m/s²).

Este valor de aceleración gravitatoria es el que hay que comparar con el valor conocido en la superficie lunar, que es 1.62 m/s² según la wikipedia. No está mal como aproximación, entre un 3% y un 9% de diferencia, si tenemos en cuenta la incertidumbre.

Podemos repetir este mismo proceso, pero ahora dividiendo el tiempo primero entre raíz de 6. Es decir, supongamos que el tiempo medido es "tiempo lunar", y que debemos acelerarlo para recuperar la reproducción a "tiempo real" de nuestro vídeo, y entonces, descubriremos que la velocidad horizontal es de Vx=26.4±6.0 m/s (un factor 2.44 superior al cálculo anterior)... y la aceleración de la gravedad g=10.32±0.31 m/s² , un factor 6 mayor, y entre un 2% y un 8% mayor que la real de 9.81 m/s²

Lo cual ya sabíamos, porque las matemáticas pueden ser más o menos complicadas, pero no fallan.

¿Y la conclusión?

Bueno, pues después de maltratar y torturar los datos, es cuando hay que analizar los resultados y llegar a algún tipo de conclusión.

Lo primero, es que el movimiento es compatible con un objeto moviéndose en un campo gravitatorio lunar. Y también con un objeto moviéndose en un campo gravitatorio terrestre, cuyo tiempo de reproducción se ha modificado en el factor adecuado. Lo cual no es de mucha ayuda para los apoloescépticos, porque aunque pueda dar la razón a quien afirme que tal manipulación podría ser posible, lo cierto es que no despeja la duda sobre si el condicional habría que cambiarlo por una afirmación, y por tanto seguimos sin conclusión y con dudas.

Hay personas que les basta con tener dudas. Suele coincidir con las mismas personas que no creen que se llegara a al luna. Dudar es bueno, saludable, y aconsejable; pero el objetivo de tener dudas, es poder despejarlas para adquirir conocimiento y certezas razonables (y nótese que no digo certezas inmutables), por lo que nosotros no nos conformamos y continuamos el análisis para intentar encontrar alguna certeza razonable, si la hay.

Y seguiremos por la velocidad en horizontal. La manipulación del tiempo de reproducción modifica el tiempo (una perogrullada, sí). Como consecuencia, se modifican las velocidades y aceleración... pero no se modifican las distancias.

Por un lado hemos calculado dos velocidades, una lunar(10.8 m/s), y otra terrestre(26.4m/s).

Y por otro tenemos dos tiempos de vuelo distintos en cada caso. El máximo de altura corresponde a la mitad del tiempo de vuelo, que en el primer caso son t=2.4 x 2=4.8 segundos, y en el segundo t=0.97 x 2=1.94 s (una vez más, un factor raíz de 6)

Esto hace que la distancia recorrida tanto en un caso, como en el otro sean practicamente la misma (a pesar de que el margen de error es elevado, la diferencia entre uno y otro valor medio es del 1.2%).

d=10.8 x 4.8 =51.84 ± 11.52 metros
d=26.4 x 1.94=51.22 ± 11.64 metros

Entonces, un actor ataviado con un traje espacial, ha lanzado a una distancia de entre 40 y 62 metros, con una técnica poco ortodoxa y sin carrerilla, un martillo geológico.

No hay muchos precedentes registrados de lanzamientos de martillos geológicos, así que tendremos que comparar con lo que haya más a mano... como son las pruebas de lanzamiento en competiciones atléticas.

Echemos una vistazo a los records en la web de la IAAF.

El record del mundo de lanzamiento de martillo (siempre me he preguntado por qué lo llamán "martillo") está en 86.74 metros para hombres (conseguido en 1986). Se aleja bastante de nuestros muy optimistas 62 metros. Las mujeres no están tan lejos, 78.30 metros (2010), pero siguen por delante.

En javalina masculina nos vamos a 98.48 metros (1996), más lejos aún. En mujeres, a 72.28 metros (2008). Aunque si cogemos el record de España femenino (vía Real Federación Española de Atletismo), los 64.07 metros en 2010 estan sólo un poco por encima del límite superior del martillo geológico.

Comparemos con lanzamiento de disco: 74.08 m (1986) para hombres, 76.80 m (1988) para mujeres. En los records de España, 69.50 m (2008) en masculino sigue por encima de nuestro lanzamiento más optimista, pero el record de España femenino, 60.56 m (1994) ya es una distancia comparable.

Descartando el lanzamiento de peso (record mundial en 23.12 m en 1990), ¿qué nos queda por comparar? Pues lanzamiento de disco en Decatlón. El decatlón es una prueba combinada de carreras, saltos, y lanzamientos. Gana el que más puntos hace en función de las marcas conseguidas en cada prueba, lo que siginifica que el que gana, no tiene por qué haber hecho la mejor marca en todas las pruebas.

Así, tenemos por ejemplo que el recordman mundial de decatlón, consiguió su marca un día de 2001 que lanzó el disco a 47.79 metros, mientras que la mejor marca conseguida es de 55.87 metros en 2005. En cuanto a los españoles, el record nacional se consiguió con un lanzamiento de disco de 48.10 metros en 1998, mientras que otro decatleta consiguió en 1991 su mejor marca personal con 50.66 metros.

Como las marcas suelen variar con los años, podemos añadir como última comparación al medallista de oro de decatlón en Munich'72 (año del Apolo 17 y el lanzamiento de martillo geológico), que consiguió un lanzamiento de 46.98 metros.

Todas estas marcas de decatlón son comparables con el valor medio del lanzamiento del martillo geológico. Decíamos que la manipulación del tiempo de reproducción puede simular la gravedad lunar. Pero que no varía el espacio. Es decir, si el video se grabó en la Tierra, ¡el actor les hubiera disputado los puntos a todos estos decatletas, al menos en esta prueba!

Y hay otra cosa que no se puede simular manipulando el tiempo de reproducción, que es la capacidad, o el esfuerzo de una persona para generar el movimiento. Comparen pues, los movimientos y esfuerzo que una persona ataviada con un traje gordo, mochila, casco, y sin coger carrerilla hace al comienzo de esta entrada para lanzar un martillo geológico a más de 50 metros de distancia, con el vestuario y esfuerzo del campeón olímpico en Pekin'08 para lanzar a 53 metros el disco:



La conclusión obvia, pues, es que algunos atletas deberían cambiar su técnica de lanzamiento.

¿O era otra?

11-S: Los foros

Hace ya más de un año, Pedro , Josué y servidor pusimos en marcha una web sobre los mitos del 11-S. Con los modestos medios que teníamos (y seguimos teniendo), en aquel momento no pudimos implementar un sistema para recibir comentarios, o debatir sobre los artículos que hemos ido publicando. Eso lo íbamos haciendo casi «de prestado» en el foro de Misterios de Todo a Cien.

Pero hoy estamos de estreno: tenemos foro nuevo, expresamente dedicado para debatir los artículos de la web, así como otros hilos que los usuarios decidan abrir.

Eso sí. Nos gustaría que el debate sea educado, amable, y organizado, por lo que existen unas normas de obligado cumplimiento.

Animamos a todos a participar y compartir sus puntos de vista.

Fotografía de los módulos de la misión Apolo

La sonda Lunar Reconnaissance Orbiter fue lanzada el pasado 18 de Junio, con la misión de reconocer la superficie lunar e identificar posibles lugares para un futuro alunizaje. Entre tanto, también ha hecho unas cuantas fotografías, entre las que se incluyen los lugares de alunizaje de las misiones Apolo.

Esas fotos se pueden ver en la web de la misión.




y en ellas, aunque no son espectaculares, se puede apreciar la sombra que hacen los módulos lunares. Aunque no faltará quien diga que es un trozo de cartón piedra que han puesto en la luna con la forma del módulo lunar.

Calor, efecto invernadero y el acero fundido del 11S

He aquí una entrada laaaaaarga como un día sin pan, llena de matematicas y ecuaciones. Si no te apetece una lectura tan dura, entonces te doy permiso para ir directamente al ultimo apartado.

Absorción y emisión de calor en función del tiempo

Un material se puede presentar en tres fases distintas: en un gas, los átomos o moléculas se mueven libremente por todo el espacio que tienen disponible, sin apenas interaccionar entre sí. En un líquido, las moléculas se mueven, aunque interaccionan entre ellas levemente, dándole cierta consistencia al material. En un sólido, las moléculas y átomos ocupan lugares fijos, y su movimiento se reduce a una vibración en su posición de equilibrio.

En todos los casos, la temperatura del material no es sino una medida promedio de la energía cinética que poseen las moléculas del material. El movimiento de estas moléculas puede ser agilizado con tal de aportar energía e igualmente se puede ralentizar si el material libera energía.

Existen tres mecanísmos básicos para el intercambio de energía:

Conducción: La conducción de calor se realiza por contacto entre dos materiales, o en un mismo material, el calor fluye por zonas de distinta temperatura.

Convección: Es el transporte de calor a través de fluidos y gases. El aire caliente asciende de una forma caótica, mientras el aire frío desciende.

Radiación: La emisión de radiación electromagnética de un cuerpo es una forma de disminuir su temperatura, mientras que la absorción de esta misma radiación puede resultar en un aumento de la temperatura.

Todos estos procesos se pueden dar por separado o en conjunto para un material, con el resultado neto de una energía o calor que ha sido absorbida o liberada.

(Q_a-Q_l)=MC_e(T_f-T₀)

donde Q_a representa el calor absorbido por cualquiera de los tres procesos anteriores, y Q_l el calor liberado por cualquier de los tres mismo procesos. Si una masa M se encuentra inicialmente a una temperatura T₀, el balance de calor Q_a-Q_l determina hacia donde cambiará su temperatura. Una mayor absorción que liberación de energía resulta en un balance positivo de calor, y por tanto una temperatura final T_f mayor que la inicial T₀. Y al contrario, una balance calorífico negativo equivale a una disminución de la temperatura final.

El cambio de temperatura sin embargo, no es instantáneo, sino que requiere un cierto tiempo que depende de la masa del material, y de su capacidad calorífica. Estos parámetros influyen en la velocidad del cambio de temperatura. La ecuación no especifica explícitamente como tener en cuenta el tiempo de intercambio de calor, pero se puede deducir a partir de ella.

Derivando la ecuación respecto del tiempo t, se obtiene



una ecuación diferencial de primer orden. Por definición, la velocidad con que el calor se absorbe o libera es la potencia medida en watios a la que se está ejecutando el proceso (P=dQ/dt). En el caso más general, esta potencia puede no ser constante, sino depender del tiempo, o incluso de la temperatura a la que se encuentra la masa. Por su lado, el calor específco es una propiedad intrínseca del material e independiente del tiempo, pero puede depender de la temperatura a la que se encuentra el material.

Dada una condición inicial T(t=0)=T₀, esta ecuación se puede resolver para hallar la evolución temporal de la temperatura del material. Sin embargo, esta ecuación en su caso más general no tiene solución analítica, sino que es necesario hacer aproximaciones, o resolverla numéricamente.

Ley de Stephan - Boltzmann

La definición de cuerpo negro es aquel capaz de absorber completamente toda la radiación que le llega. Un cuerpo así, al no reflejar nada de radiación, se presenta literalmente de color negro. Esta absorción de energía implica que el cuerpo adquiera una temperatura determinada, haciendo que sus moléculas vibren. Si se elimina la fuente de radiación, este movimiento vibratorio no será permanente, sino que el mismo movimiento produce que las moléculas emitan radiación. Así pues, esto constituye una liberación de calor cuya consecuencia es la disminución de temperatura del cuerpo. Esta emisión de calor de un cuerpo negro fue caracterizada entre finales del Siglo XIX, e inicios del XX.

Fruto de esta caracterización, existe la Ley de Stephan - Boltzmann, que establece que la densidad de potencia, o potencia por unidad de área en la emisión de radiación de un cuerpo a una temperatura T es proporcional a la cuarta potencia de su temperatura.

P_sb=σ T⁴

La constante de proporcionalidad σ es la constante de Stephan - Boltzmann, y su valor es σ =5.67·10^-8 W/m²K⁴.

Emisividad ε

Un cuerpo negro capaz de absorber toda la radiación que le llega es una idealización. Los materiales reales son en realidad grises, lo que quiere decir que no son tan eficientes a la hora de absorber energía radiante. De igual forma, estos cuerpos grises tampoco son igual de eficientes en la libreación de calor como lo son los cuerpos negros. Es por ello que se define un parámetro de emisividad ε, un valor que va entre 0 y 1, siendo 1 el correspondiente a un cuerpo negro. Así pues, un cuerpo gris va ser más lento en la absorción de radiación, al igual que en su liberación.

Geometría

La ley de Stephan - Boltzmann relaciona la temperatura de un cuerpo con la densidad de potencia de emisión de calor. Esto implica que para una masa dada, esta potencia tiene una dependencia con la geometría. Más concretamente, la ley establece cómo la energía escapa a través de su superficie. Para hallar la potencia total con la que un cuerpo está emitiendo energía, se debe tener en cuenta su superficie. Para una misma masa, no emitirá lo mismo si tiene forma de esfera o de cubo.

P=A·P_sb

Ejemplos simples

Veamos unos ejemplos de una situaciones simples para estudiar cómo varía la temperatura con el tiempo de una masa M que en el instante t=0 posee una temperatura T₀.

Potencia constante

El primer ejemplo es el más simple: el cuerpo pose un equilibrio entre la cantidad de calor que está absorbiendo a una potencia constante P_a, y liberando con potencia también constante P_l. Supongamos que su capacidad calorífica es igualmente constante e independiente de la temperatura a la que se encuentra el cuerpo. En esta situación, la ecuación queda

P_a-P_l=MC_e·dT/dt

y es una ecuación diferencial integrable cuya solución general es

T(t)=(P_a-P_l)t/(MC_e)+ B

siendo B una constante que se calcula usando la condición inicial T(t=0)=T₀, quedando la expresión por tanto:

T(t)=(P_a-P_l)·t/(M·C_e)+ T₀

Esta expresión es una recta. La pendiente positiva o negativa(es decir, si la masa se calienta o se enfría) depende del balanace neto de calor que se está absorbiendo o liberando, como es lógico, y por otro lado, la pendiente, o velocidad del calentamiento o enfriamiento depende tanto del balance calorífico, como de la masa y su calor específico. Mayor cantidad de masa produce que esta velocidad sea más lenta, dado que el cuerpo le hace poseer más inercia térmica, o resistencia a cambiar su temperatura.

Intercambio de calor con un foco de tempertura

El ejemplo anterior, si bien simple, puede ser inapropiado en algunas circunstancias, dado que la solución implica que un objeto podría enfriarse por debajo del cero absoluto.

Supongamos ahora que nuestra masa está en contacto con un foco de temperatura constante T_F. El foco intercambia calor con el cuerpo: si el cuerpo está más frío, le cede calor, mientras que si el cuerpo está más caliente, lo absorbe de él. En cualquier caso, una propiedad del foco es que es capaz de mantener su temperatura sin ser afectado por el intercambio.La expresión de este intercambio puede ser más o menos complicada, pero por simplicidad, podemos asumir que el intercambio es proporcional a la diferencia de temperaturas entre el cuerpo y el foco, lo cual no es más que la Ley de Newton para la transmisión de calor

(P_a-P_l)=P_F =K(TF-T)

En esta expresión, cuando el cuerpo se halla más caliente que el foco, P_F es negativo, es decir, el cuerpo libnera energía que absorbe el foco, mientras que cuando la temperatura es menor que la del foco, P_F es positivo, significando que el cuerpo está absorbiendo calor del foco. La ecuación del calor queda ahora:

K(T_F-T)=MC_e·dT/dt

siendo K un factor de proporcionalidad que depende de la capacidad del foco para intercambiar calor. Es una ecuación diferencial también integrable, cuya solución general es una suma de la solución a la ecuación homogénea y la solución particular a la no homogénea.

La solución general es una exponencial decreciente

Th=B·e^(-Kt/MCe)

mientras que la solución particular es una constante

Tp=T_F

La solución general es la suma de ambas:

T(t)=B·e^(-Kt/M·Ce)+T_F

con una constante B que se puede calcular con la condición inicial T(0)=T₀

B=T₀-T_F

T(t)=(T₀-T_F)·e^(-Kt/M·Ce)+T_F

Esta expresión muestra, como era de esperar intuitivamente, que el cuerpo variará su temperatura hasta igualarla con la del foco. En ambos casos, la velocidad de enfriamiento o calentamiento será más rápida al incio, cuando la diferencia en temperatura es mayor, y se frenará, para tender asintóticamente al valor T=T_F cuando t tienda a infinito como se puede ver en la figura.


Figura: Evolución de la temperatura según el intercambio de calor con un foco de temperatura constante

Enfriamiento por radiación

Supongamos que nuestra masa M presenta una superficie A, y que posee una emisividad ε . El cuerpo se halla en vacío, de forma que su única forma de enfriarse es por radiación, siguiendo la Ley de Stephan - Boltzmann. Con estas aproximaciones, la ecuación del calor queda de esta forma:

(P_a-P_l)=-AεσT⁴=MC_e·dT/dt

Esta ecuación también puede ser resuelta analíticamente para obtener la solución general:



donde B es una constante, que se puede calcular de nuevo usando la condición inicial T(0)=T₀.

B=-T₀^-3/3

Reordenando términos, se llega a la expresión:



Este resultado implica que la temperatura decae con la raíz tercera del tiempo. El enfriamiento es más rápido cuanta mayor es la temperatura, aunque al bajar el ritmo decrece notablemente. La temperatura tiende asintóticamente a 0 cuando t tiende a infinito.

Figura: Enfriamiento por radiación según la ley de Stephan - Boltzmann

Ejemplos menos simples

Enfriamiento por radiación y una aportación constante

Las situaciones anteriores son simples, pero nada evita que se puedan dar simultáneamente. Por ejemplo, supongamos que una cuerpo a una temperatura T₀ se enfría según la Ley de Stephan - Boltzmann a la par que absorbe energía de una forma constante. La ecuación del calor se expresa entonces como:

P_a-AεσT⁴=MC_e·dT/dt

Ahora la solución no se puede encontrar por medios analíticos, sino que es necesaria la integración numérica, como por ejemplo la integración en cuatro pasos de Runge - Kuta. En todo caso, sin llegar a resolver la ecuación, se puede realizar una predicción sobre resultado final. A altas temperaturas, la Ley de Stephan - Boltzmann dice que la liberación de calor será a un ritmo elevado. Con una dependencia con la cuarta potencia de la temperatura, es probable que su efecto sea mayor que lo que pueda aportar la absorción constante, por lo que es de esperar un balance neto negativo, y que por tanto el cuerpo se enfríe.

En el caso contrario, si la temperatura es baja, la aportación constante bien puede compensar o incluso superar el enfriamiento por radiación, haciendo que la muestra se caliente. Así, tiene que existir un punto medio en el cual exista un equilibrio, y por tanto la variación de temperatura sea nula, porque el balance neto calor también lo es. Esa temperatura se puede calcular igualando el primer término de la ecuación a cero.

P_a-AεσT⁴=0

P_a =AεσT⁴

y despejando T,

T=(P_a/(Aεσ))^1/4

será la temperatura de equilibrio. Dada una condición inicial, la masa se enfriará o calentará hasta alcanzar esa temperatura de equilibrio.Hay que hacer notar que esta temperatura de equilibrio no depende del cuerpo en sí (a excepción de su área radiante, a través de la Ley de Stephan - Boltzmann). Es decir, cuerpos hechos de un material distinto, incluso con distinta masa, pero con igual superficie llegarán a la misma temperatura de equilibrio (si bien el tiempo empleado en ello sí que dependerá de su masa y su capacidad calorífica).


Figura: Liberación de calor por radiación, junto con una absorción constante

Cuando la temperatura del cuerpo es alta, el ritmo de absorción de calor puede ser despreciable frente a su liberación por radición. Así, no hay diferencia con el caso de liberación por radiación. Sin embargo, al bajar la temperatura, la contribución de la absorción se hace notar, y el enfriamiento se ralentiza sustancialmente.

Enfriamiento por radiación y aportación de un foco

Supongamos ahora que el cuerpo está en contacto con un foco que mantiene una temperatura constante. La ecuación se escribirá ahora como

K(T_F -T)-AεσT⁴=MC_e· dT/dt

De nuevo, esta ecuación debe ser resuelta numéricamente. En el anterior caso, la absorción constante de calor por parte del cuerpo frenaba la caída de temperatura; ahora la diferencia de temperatura entre el foco y el cuerpo lo que hace es ayudar al enfriamiento mientras la temperatura sea mayor que la del foco porque el foco le roba calor al cuerpo. La temperatura final que se alcance, sin embargo, no será la temperatura del foco, sino una tal que haya un equilibrio entre la cantidad de calor que el foco intercambia con el cuerpo, y lo que éste liberará por radiación. De nuevo, se puede estimar cual será esta temperatura igualando la primera parte de la ecuación a cero:

K(T_F-T)= AεσT⁴

Dado que el segundo término es siempre positivo, eso implica que K(T_F-T) también debe serlo, y por tanto T es menor que T^F, la temperatura de equilibrio será menor que la temperatura del foco. Resolver una ecuación de cuarto grado no es sencillo por medios analíticos, por lo que se puede recurrir a métodos numéricos, o también métodos gráficos.

Figura: Balance neto de calor que absorbe o libera el cuerpo en función de su temperatura

La figura muestra la contribución al balance calorífico del foco (línea punteada roja), la ley de Stephan - Boltzmann (línea punteada azul), y el balance total de potencia absorbida y liberada (amarilla). Como se puede ver, este balance se hace nulo a una temperatura menor que la del foco.


Figura: Liberación de calor por radiación, e intercambio de calor con un foco de temperatura constante

Masa, emisividad y calor específico variables

La mayoría de las características de los materiales suelen presentar variaciones con la temperatura, y tanto el calor específico como la emisividad pueden presentar esta variación. Su inclusión en las ecuaciones puede ser necesaria para un cálculo afinado, y que poducirá distintos efectos en los casos anteriormente tratados: una emisividad más alta implica una mayor liberación de calor en forma de radiación. En cambio, un mayor calor específico implica que la variación de temperatura, ya sea para aumentar o disminuirla, será más lenta.

La masa en cambio, debería ser siempre una constante. Es una buena suposición que las pérdidas de masa por evaporación o sublimación son despreciables frente a la masa total del cuerpo bajo estudio. Materiales idénticos, pero con distintas masas dan lugar a que el proceso de absorción o liberación de calor sea más lento para mayores masas, al igual que ocurre con el calor específico. Pero en princpio es perfectamente asumible que un cuerpo no perderá ni ganará masa sólo por efecto de la temperatura.

Cambios de fase

Cuando un material cambia de fase, debe absorber o liberar un calor extra que le permite realizar la transición. Durante el tiempo que dura este cambio de fase, la temperatura del material permanece constante, y sólo cuando ha terminado puede seguir calentándose o enfriándose.

El calor que necesita absorber o liberar un material que pasa de líquido a sólido o viceversa, es llamado calor latente l, que se suele expresar en J/kg. Es el calor necesario para cambiar de fase un kilo de material. Si el material está recibiendo una potencia constante con el tiempo, entonces el tiempo necesario para el cambio de fase será el tiempo que tarde en absorber o liberar un calor equivalente al calor latente:

lM=Pt

t=lM/P

Ejemplos reales

La temperatura de la Tierra

Anteriormente vimos el caso de una absorción de calor a un ritmo constante combinado con emisión por radiación según la ley de Stephan-Boltzmann. Este ejemplo corresponde perfectamente con el balance radiativo de la Tierra: tiene una aportación constante de calor, que es la radiación proveniente del Sol, P_s=1350 W/m².

Parte de esta energía es reflejada por el agua del mar, el hielo de los polos, las nubes... este es el llamado albedo, que supone que alrededor del 30% de la radiación solar sea reflejada de vuelta al espacio. La radiación que finalmente llega a la Tierra, ve una circunferencia con el radio terrestre, R_T, cuya área es πR_T². La Tierra se calienta por acción de esta radiación, y comienza a re-emitirla por toda la superficie de su esfera 4·πR_T², de forma que escribiendo el balance del calor:

P_a=(1-a)P_sπR_T²

lo que da una temperatura de equilibrio:



Echando cuentas, según este balance, la superficie de Tierra debería estar a -19°C. Sin embargo, la temperatura media de la superfice terrestre está en torno a 15°C, debido al efecto invernadero. El efecto consiste en que parte de la radiación que libera la Tierra es absorbida por ciertos gases presentes en la atmósfera, y reenviada de vuelta a la superficie terrestre. Esto supone una aportación extra de energía que desplaza el balance hacia una mayor temperatura. El efecto invernadero se puede añadir a los cálculos anteriores como un factor de forzamiento f, representando una fracción de la energía emitida por la Tierra:

(1-a)P_s· + f(4σT⁴)=(4σT⁴)

De esta forma, la nueva temperatura de equilibrio vendrá dada por:



Sabiendo que la temperatura media de la Tierra son 15°C, el actual forzamiento es f=0.434, un 43.4% de la energía liberada por la Tierra por radiación. Es decir, que dos quintas partes del calor liberado vuelve a la Tierra por acción de los gases de efecto invernadero, unos 180 W/m².

El efecto invernadero no es una acción constante, sino que puede variar tanto por causas naturales como por la actividad humana. Esto es lo que desde hace unos años estudian los climatólogos: cómo la distinta concentración de gases afecta al forzamiento producido por el efecto invernadero. Y no sólo eso, dado que el cambio del clima puede implicar el cambio en el albedo terrestre, con lo que el balance radiativo se hace complicado de estudiar. Actualmente, el forzamiento radiativo extra, se estima en unos 4 o 5 W/m² positivos, lo que implica en principio que el balance se desplace hacia una mayor temperatura de la Tierra.

La mayor parte de la superficie terrestre es agua. Los mares y oceanos son los principales focos de temperatura del planeta, y es por tanto en ellos donde debe producirse el mayor cambio de temperatura de la superficie. Tanta agua representa mucha masa a calentar, y si tenemos en cuenta la ecuación del calor, podemos ver que el papel de la masa en ella hace que la velocidad de cambio de temperatura dT/dt sea menor. Así pues, el cambio climático, el cambio de temperatura del planeta es un proceso que en principio es lento. De ahí que las previsiones que el IPCC hace sean con 100 años vista. Y de igual forma que un cambio de temperatura requiere mucho tiempo, esa misma inercia hará que una vez producido el cambio, éste perdure largo tiempo antes de un nuevo cambio climático.

El acero fundido de las Torres Gemelas

Las torres gemelas se derrumbaron tras el impacto de dos aviones, y un posterior incendio. El calor del fuego debilitó la ya dañada estructura de las torres, provocando un colapso que era imposible de frenar. En los días posteriores se comenzaron las tareas de desescombro y limpieza de la zona cero. Esta labor se vio dificultada por un lado por la poca estabilidad de los restos, que producían nuevos derrumbes, y por otro las altas temperaturas que había bajo la masa de escombros.

Tal fue la temperatura que existen varias fuentes afirmando haber encontrado metal en estado líquido, metal que se suele identificar como acero proveniente de la estructura de las torres. Estas altas temperaturas, y este acero fundido se relacionan según las teorías de la conspiración con el uso de termita, una reacción química entre aluminio y óxido de hierro que libera gran cantidad de calor, suficiente como para fundir acero. Por ello, sospechan que se usó termita para fundir las columnas de las torres, y demolerlas de esta forma.

Según las informaciones, el metal fundido pudo habserse visto hasta varias semanas después del 11S. Entonces, la pregunta al hilo de este largo e interminable artículo es: si la termita fundió las columnas, ¿cuanto tardaría en enfriarse una masa de acero equivalente a la que tenían las torres gemelas? ¿Pudieron aguntar a la temperatura de fusión del acero durante varias semanas o meses?

La temperatura de fusión del acero es de unos 1800 K, mientras que la termita consigue elevar la temperatura del acero hasta unos 2800 K. Así, tenemos ya la condición inicial de T₀=2800 K.

La masa total de acero estimada para las torres gemelas es de unas 72.000 toneladas por torre (Fuente: Gregory Urich). Para hallar el área que ocupaba el acero, tenemos que suponer que formaba una sola masa homogénea. Toda esa masa ocupará un volumen vendría dado por V=M/δ siendo δ=7700 kg/m³ la densidad del acero. Dependiendo de la geometría, la superficie que radiará calor según al Ley de Stephan-Boltzmann será distinta según la geometría, siendo la forma de esfera la que menor superfice presenta, y la que por tanto se enfriará más lentamente

Supongamos que tras la caída de las torres gemelas, todo el acero forma una esfera, con una temperatura uniforme de 2800 K. Su masa son 144.000 toneladas (72.000 por torre), un calor específico constante con la temperatura de C_e=450 J/K·kg, una emisividad constante de ε=0.4, y un área de 3407 m²

Con estos parámetros, podemos hacer uso de la ecuación para el enfriamiento por radiación para saber cuanto tardará toda esta masa de acero en enfriarse hasta el punto de fusión del acero. Esta temperatura depende del tipo de acero concreto, pero ronda los 1800 K. Este tiempo, según se desprende de la figura, es de alrededor de 9 horas y media, mientras que el tiempo que necesitaría para llegar a la temperatura ambiente sería de 115 días, casi cuatro meses.


Figura: Tiempo de enfriamiento sólo por radiación. La escala logarítmica es para apreciar mejor las características de la gráfica.

A estos tiempos, en realidad, haría falta sumarles el tiempo que dura el cambio de fase de líquido a sólido, dado que durante ese tiempo, el material permanece en estado líquido, y con una temperatura constante. Se puede deducir que el tiempo que tardarían 144.000 toneladas de acero en cambiar de fase:


Así, el tiempo total que 144.000 toneladas de acero estarían en estado líquido serían unas 14 horas. Estos resultados indican que el enfriamiento por radiación por sí solo es demasiado rápido para que el acero se pudiera encontrar en forma líquida varias semanas después del derrumbe. Queda en evidencia entonces que un enfriamiento sólo por radiación no es un modelo válido para explicar las altas temperaturas que se observaron durante tanto tiempo.

La masa de escombros está en contacto con el aire. Este aire se calienta alrededor del acero, y asciende por al atmósfera, siendo reemplazao por aire frío. Así, podríamos considerar la atmósfera como un foco de temperatura constante. Sin embargo, como ya habíamos visto, esto provocaría que el enfriamiento se viera en realidad ligeramente acelerado, debido que ahora no sólo se piede calor por radiación, sino porque la masa cedería también una parte al foco (la atmósfera) aunque en último término, tras enfriarse por debajo de la temperatura de ésta, se llegaría a una temperatura de equilibrio, frenando el enfriamiento. Así, este otro modelo tampoco dará valores válidos.

La única opción disponible entonces para conseguir temperaturas tan altas y sostenidas en el tiempo, es suponer una fuente de calor constante que lo aporte a la masa de acero, mientras que esta se enfría por radiación.

De hecho, con este modelo, ni siquiera sería necesario tener como condición inicial una alta temperatura. En las torres gemelas hubo sendos incendios, que tras su derrumbe continuaron bajo la masa de escombros. Esto es indudablemente un foco de calor, y si sumamos a ésto que la refrigeración bajo una montaña de escombros era más bien escasa, estaríamos en un caso parecido a un efecto invernadero, tal y como ocurre con la Tierra. El calor desprendido por la masa de acero, al no poder ser evacuado fuera, se realimenta y reabsorbe, al menos parcialmente, aumentando entonces la temperatura.

Quizás no sea posible evaluar cuanto calor es debido a los incendios, y cuanto debido a este «efecto invernadero». Sí es posible en cambio estimar la cantidad de calor por unidad de tiempo mínima necesaria para mantener la temperatura de fusión del acero, a partir de:

P_a=AεσT⁴

P_a=3407·0.4·5.67·10^-8(1770)⁴=8.1·10⁸ W= 810 MW

siendo una parte debida al calor desprendido por el incendio, y otra parte por la reabsorción de energía. Una vez consumido todo el material susceptible de arder, los escombros debían enfriarse sólo por radiación, frenados por la reabsorción de calor.


Figura: Evolución temporal de la temperatura para varias condiciones

Una simulación de este proceso, con una temperatura inicial de T₀=800 K (526°C), con una potencia de absorción de energía de P_a=810 MW durante 90 días (tres meses), dan lugar a una evolución de la temperatura como la de la figura. También en la figura se hallan representadas otras condiciones. Nótese que la escala horizontal es logarítmica, para poder apreciar mejor los distintos perfiles de calentamiento durante el primer día de tiempo.

Estos cálculos demuestran que bajo los escombros de las torres gemelas debió haber una fuente de calor que duró bastante tiempo activa. Probablemente, dado que no había ventilación alguna posible, parte del calor liberado por los escombros, era reabsorbido por este mismo, en un proceso similar al efecto invernadero. Los entusiastas de las conspiraciones quizás ahora apunten con su dedo acusador, sugiriendo que esta es la prueba de que la reacción de termita fue la fuente de calor activa todo este tiempo.

Sin embargo, los cálculos indican que no hace falta que la fuente de calor sea tan elevada, sino que un incendio normalito bien podría haber elevado la temperatura hasta el punto de fusión del acero dada la falta de ventilación. Por otro lado, sugerir que durante varias semanas o meses estuvo reaccionando la termita sobrante tras la demolición de las torres implica que una inmensa cantidad de ésta debió introducirse en las torres, en realidad muchísima más de la que pudiera haber sido necesaria para demoler las torres, cualquiera que fuera la forma de usarla (a fecha de publicación de este post, nadie a propuesto una teoría creíble de cómo se usaría la termita para demoler los edficios), algo que suena bastante ridículo. Quien calculó la termita necesaria para tirar las torres se pasó de largo en el cálculo. Y por mucho.

Hay que tener en cuenta que en todo momento hemos supuesto una condiciones un tanto irreales, pero totalmente favorables a la hipótesis de que el acero se calentó por acción de la termita, y luego tardó todas esas semanas en enfriarse. Hemos tomado la masa total de acero de las torres y además hemos supuesto que toda la masa forma una esfera compacta. En realidad, podríamos haber supuesto que tenemos varios miles de columnas con forma de paralelepíedo hueco de casi 4 metros de largo, y unos decímetros de ancho. Sin embargo, el área radiante total entonces sería bastante mayor que el de una esfera compacta. Las suposiciones hacen por tanto que la respuesta térmica sea más lenta que un modelo más realista. Hemos trabajado con el modelo más lento posible. Esto a su vez implica que en un modelo real, el calor aportado por el incendio de los escombros y la reabsorción de calor sería también menor para mantener zonas (no ya toda la montaña de escombros) a una temperatura que permita alcanzar la temperatura de fusión del acero.

Que las temperaturas de los escombros del WTC fueran altas durante largo tiempo, no es debido al uso de termita. Es otra de esas ideas felices que no tienen ni pies ni cabeza, pero que se pueden explicar sin suposiciones fantasiosas.