14 de marzo, día de π según la fecha anglosajona, 3/14, que en contra de cualquier tipo de criterio razonable les da por comenzar la fecha por el mes.
Pero cualquier excusa es buena para cacharrear.
Un método fácil de calcular π está basado en el azar: sobre un cuadrado con un círculo inscrito, se generan puntos aleatoriamente. Se cuentan los que caen en el círculo, cuantos en todo el cuadrado, y se puede obtener π de la relación entre ambos números. Se puede hacer con un ordenador fácilmente, y es solo cuestión de tiempo (y potencia de cálculo) obtener una precisión razonable para unos pocos decimales.
Pero eso es cacharreo de salón. Aquí hemos venido a jugar, a experimentar de verdad, a ensuciarnos las manos si hace falta (pero laváoslas después, ¡eh!), y por ejemplo, se puede intentar hacer lo mismo lanzando dardos a una diana.
Eso ya es más divertido, aunque se nos queda corto. Los físicos preferimos las cosas controladas, reproducibles y más rigurosas. No nos vale solo con calcular, también queremos medir, y así por ejemplo, Eugenio Manuel Fernández Aguilar («La conspiración lunar. ¡Vaya timo!» entre otros) «pesó» el número π usando una balanza y arroz. Es un método que en última instancia se vuelve a basar en comparar dos figuras geométricas.
Para ser originales, en los Laboratorios Secretos Gluon con Leche (financiados por la KGB, CIA y protección civil de Pardilla, y expertos en Experimentos de Todo a 100), lo vamos a hacer con un péndulo. Si lo de Eugenio era «pesar π», nosotros vamos a «columpiar π».
Un péndulo no es más que una objeto colgando de una cuerda. La cuerda debe tener una masa despreciable, lo cual no quiere decir que sea mala persona, sino que tiene muy poca masa comparada con la del objeto que cuelga. En mi caso, voy a usar un candado que recordarán de otros grandes éxitos de esta bitácora, como demostrar que la Tierra no es plana.
La idea es la siguiente. Un péndulo oscila con un periodo (T) que depende de la fuerza de la gravedad (g) y la longitud del péndulo (l). No depende de la masa. Y cuando las oscilaciones son pequeñas, la relación entre estas variables es:
Y ahí tenemos a pi. El periodo se puede medir muy fácilmente: se pone el péndulo a oscilar, y cronómetro en mano contamos un número de oscilaciones, i.e., ida y vuelta. Y cuantas más oscilaciones contemos, mejor.
El periodo no es más que el tiempo total divido por el número de oscilaciones. g es la aceleración de la gravedad, el archiconocido valor 9.81 m/s2. Aunque los más puristas dirían que tendríamos que obtenerlo experimentalmente primero, vamos a usar este valor. Y l, se puede medir con un metro.
Así pues, hacemos un péndulo de longitud l, medimos su periodo T, y despejando, podemos calcular pi:
Para distintas longitudes, se obtienen distintos valores de periodo. A longitudes más largas, periodos más largos.
La relación entre l y T está fijado por unas constantes: 2, π y g. De cada par de valores (l,T) se debería poder obtener el mismo valor de π (salvo fluctuaciones estadísticas). Aquí unas medidas, contando 40 oscilaciones:
Pero aquí somos profesionales y nos gustan las cosas bien hechas. O al menos tan bien hechas como sea razonablemente posible, sin que el presupuesto se desmadre.
La forma elegante es representar en una gráfica los pares de valores longitud - periodo.
¿Se ve cómo se alinean formando una curva, una tendencia?. El siguiente paso es ajustar esa curva. Sabemos que el periodo es proporcional a la raíz cuadrada de la longitud. Es decir, podemos escribir una función tal que:
siendo k una constante.
«Ajustar la curva» significa encontrar el valor de k que hace que la función pase lo más cerca posible de todos los pares de puntos. Para funciones simples como ésta, se puede hacer a mano, por el método llamado de mínimos cuadrados, que después de desarrollarlo, se reduce a calcular:
Donde (li,Ti) son cada uno de los pares de valores de periodo y distancia medidos. Y Σ representa el sumatorio de esos valores.
La teoría nos dice que k debe ser igual a 2π partido de la raíz de g, así que podemos despejar y calcular un valor final de π a partir de k:
Como todo experimento, existen incertidumbres que dependen de cómo se miden las cosas: el metro para medir la longitud del péndulo puede tener una precisión de milímetros. El tiempo para medir el periodo tiene como incertidumbre el tiempo de reacción para comenzar y parar el cronómetro; al menos una o dos décimas. Estas incertidumbres se van propagando desde los datos medidos hasta el valor final calculado. He dejado π con 3 decimales porque esa es la última cifra significativa. Eso quiere decir que el tercer decimal tiene una incertidumbre. Carece de sentido poner un cuarto decimal.
Incluyendo la incertidumbre, π=3.139+-0.003. El valor real de pi está dentro de la horquilla de incertidumbre, así que podemos decir que el experimento ha sido todo un éxito.
A celebrarlo con cerveza.
Pero cualquier excusa es buena para cacharrear.
Un método fácil de calcular π está basado en el azar: sobre un cuadrado con un círculo inscrito, se generan puntos aleatoriamente. Se cuentan los que caen en el círculo, cuantos en todo el cuadrado, y se puede obtener π de la relación entre ambos números. Se puede hacer con un ordenador fácilmente, y es solo cuestión de tiempo (y potencia de cálculo) obtener una precisión razonable para unos pocos decimales.
Pero eso es cacharreo de salón. Aquí hemos venido a jugar, a experimentar de verdad, a ensuciarnos las manos si hace falta (pero laváoslas después, ¡eh!), y por ejemplo, se puede intentar hacer lo mismo lanzando dardos a una diana.
Eso ya es más divertido, aunque se nos queda corto. Los físicos preferimos las cosas controladas, reproducibles y más rigurosas. No nos vale solo con calcular, también queremos medir, y así por ejemplo, Eugenio Manuel Fernández Aguilar («La conspiración lunar. ¡Vaya timo!» entre otros) «pesó» el número π usando una balanza y arroz. Es un método que en última instancia se vuelve a basar en comparar dos figuras geométricas.
Para ser originales, en los Laboratorios Secretos Gluon con Leche (financiados por la KGB, CIA y protección civil de Pardilla, y expertos en Experimentos de Todo a 100), lo vamos a hacer con un péndulo. Si lo de Eugenio era «pesar π», nosotros vamos a «columpiar π».
La idea es la siguiente. Un péndulo oscila con un periodo (T) que depende de la fuerza de la gravedad (g) y la longitud del péndulo (l). No depende de la masa. Y cuando las oscilaciones son pequeñas, la relación entre estas variables es:
Y ahí tenemos a pi. El periodo se puede medir muy fácilmente: se pone el péndulo a oscilar, y cronómetro en mano contamos un número de oscilaciones, i.e., ida y vuelta. Y cuantas más oscilaciones contemos, mejor.
El periodo no es más que el tiempo total divido por el número de oscilaciones. g es la aceleración de la gravedad, el archiconocido valor 9.81 m/s2. Aunque los más puristas dirían que tendríamos que obtenerlo experimentalmente primero, vamos a usar este valor. Y l, se puede medir con un metro.
Así pues, hacemos un péndulo de longitud l, medimos su periodo T, y despejando, podemos calcular pi:
Para distintas longitudes, se obtienen distintos valores de periodo. A longitudes más largas, periodos más largos.
La relación entre l y T está fijado por unas constantes: 2, π y g. De cada par de valores (l,T) se debería poder obtener el mismo valor de π (salvo fluctuaciones estadísticas). Aquí unas medidas, contando 40 oscilaciones:
- l=0.36 m ; T=1.20 s; π=3.136
- l=0.43 m ; T=1.31 s; π=3.122
- l=0.58 m ; T=1.53 s; π=3.153
- l=0.92 m ; T=1.92 s; π=3.127
- l=1.09 m ; T=2.10 s; π=3.141
- l=1.20 m ; T=2.20 s; π=3.143
- l=1.50 m ; T=2.46 s; π=3.140
- π=3.138
Pero aquí somos profesionales y nos gustan las cosas bien hechas. O al menos tan bien hechas como sea razonablemente posible, sin que el presupuesto se desmadre.
La forma elegante es representar en una gráfica los pares de valores longitud - periodo.
¿Se ve cómo se alinean formando una curva, una tendencia?. El siguiente paso es ajustar esa curva. Sabemos que el periodo es proporcional a la raíz cuadrada de la longitud. Es decir, podemos escribir una función tal que:
siendo k una constante.
«Ajustar la curva» significa encontrar el valor de k que hace que la función pase lo más cerca posible de todos los pares de puntos. Para funciones simples como ésta, se puede hacer a mano, por el método llamado de mínimos cuadrados, que después de desarrollarlo, se reduce a calcular:
Donde (li,Ti) son cada uno de los pares de valores de periodo y distancia medidos. Y Σ representa el sumatorio de esos valores.
La teoría nos dice que k debe ser igual a 2π partido de la raíz de g, así que podemos despejar y calcular un valor final de π a partir de k:
- π = 3.139
Como todo experimento, existen incertidumbres que dependen de cómo se miden las cosas: el metro para medir la longitud del péndulo puede tener una precisión de milímetros. El tiempo para medir el periodo tiene como incertidumbre el tiempo de reacción para comenzar y parar el cronómetro; al menos una o dos décimas. Estas incertidumbres se van propagando desde los datos medidos hasta el valor final calculado. He dejado π con 3 decimales porque esa es la última cifra significativa. Eso quiere decir que el tercer decimal tiene una incertidumbre. Carece de sentido poner un cuarto decimal.
Incluyendo la incertidumbre, π=3.139+-0.003. El valor real de pi está dentro de la horquilla de incertidumbre, así que podemos decir que el experimento ha sido todo un éxito.
A celebrarlo con cerveza.
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