viernes, septiembre 02, 2005

Parte II: Una hipótesis extraordinaria

(Nota: Si no has leído la introducción, ni la primera parte de este artículo, hazlo antes de seguir.)

Recordatorio

Vamos a analizar con un poco de rigor una afirmación extraordinaria:

Las ondas sonoras quedan atrapadas en el tiempo, pudiendo causar inclusiones picofónicas
Sí, es una hipótesis absurda. Pero eso no quita que se pueda estudiar formalmente como cualquier otra, incluidas las paranormales. La intuición dice que alguna ley física bien contrastada debe ser violada para poder existir semejante cosa. Y veremos que efectivamente se llega a conclusiones bastante delirantes. Pero son conclusiones a las que llegaremos al interpretar los resultados, tal como se hace con cualquier otra hipótesis. Por eso, el objetivo de este artículo no es demostrar la existencia o no de estas ondas, sino mostrar que sí es posible estudiar con rigor afirmaciones extraordinarias.

El principal problema de las pseudociencias son las definiciones en negativo de los fenómenos. No son más que variantes de un "no es esto", pero rara vez se dice lo que sí puede ser. Aún así, esa definición tiene que ser posible interpretarla para incluirla en una teoría, lo cual es posible sólo cuando se conoce dicha teoría.

La afirmación que hemos escogido tiene la propiedad de estar definida en positivo, y una vez conocida la teoría de las ondas, es posible hacer una interpretación que pueda incluirse en ella. Ahora bien, aplicar el método científico sólo garantiza que las conclusiones que se deducen son consecuencia directa de la hipótesis supuesta, pero no garantiza que la hipótesis sea correcta. La validez de una hipótesis viene determinada por la validez de las suposiciones que implican la definición del problema, y en última instancia, por los resultados de los experimentos.

Hay que advertir que la interpretación que se va a hacer no tiene por qué coincidir con la que hace gente que cree en psicofonías. Es una interpretación personal e intransferible, escogida ad hoc para este artículo, pero que sigue siendo extraordinaria, y válida para el fin que se persigue.

Formalizando la hipótesis

Quien haya podido seguir sin perderse la primera parte, haya quizás adivinado qué vamos a entender por "onda atrapada en el tiempo": al igual que una onda estacionaria (OE) está atrapada entre dos puntos del espacio, vamos a suponer que una onda puede quedar atrapada entre dos instantes de tiempo, convirtiéndose en lo que podemos llamar una onda estacionaria temporal (OET)

En las OE las condiciones de contorno jugaban un papel importante. Así, podemos aplicar unas condiciones de contorno en el tiempo. Es decir, una onda, tras avanzar desde un instante t=0 hasta un tiempo t=T, sufre una reflexión hacia atrás en el tiempo, de forma que recorre de forma inversa el tiempo transcurrido, desde t=T hasta t=0, donde sufre una nueva reflexión hacia adelante en el tiempo. En ese trayecto, interfiere con otras ondas, produciendo ondas estacionarias.

Para poder asumir esta hipótesis, es obligatorio asumir también unas suposiciones que van ocultas en ella, pero para las que no tenemos ninguna evidencia a favor:

1- Existe un mecanismo (desconocido) por el cual una onda, es reflejada hacia atrás en el tiempo.
2- Es posible viajar en el sentido inverso del tiempo

Además, no vamos a tener en cuenta la atenuación que sufre una onda al viajar y que hace que finalmente se extinga, por ponernos en el caso ideal más favorable.

La hipótesis se formaliza con esta condición de contorno:

(1)


Y la solución sería muy parecida a la vista anteriormente:

(2)


OJO: Ahora T no es el periodo de la onda, sino una constante que indica el límite de tiempo donde queda atrapada la onda. No confundirlas

Matemáticamente, no hay diferencia entre esta ecuación y la correspondiente que se escribió en la primera parte, y todos los resultados y consecuencias son exactamente iguales. t y x son sólo variables, no hay distinción entre ellas.

La ecuación (2) significa que en un periodo de tiempo entre t=0 y t=T, sólo los modos de vibración con frecuencia múltiplo de la frecuencia fundamental f0=1/2T pueden quedar atrapados para formar OETs. Es decir, las ondas con frecuencia f0, 2f0, 3f0, ..., en general fn=nf0, quedarán atrapadas, mientras que el resto desaparecen. La longitud de onda de éstas es la correspondiente a esas frecuencias, siendo λ0=2TV, y al igual que las OEs, sólo son posibles las ondas que sean submúltiplos de la longitud de onda fundamental, λn0/n.

Es la consecuencia a la que se llega a partir de nuestra hipótesis. Pero que tenga sentido físico es harina de otro costal: t y x son sólo variables, pero tiempo no es lo mismo que espacio.

Interpretación física

Ahora viene lo divertido. El espacio es una dimensión que se puede recorrer hacia delante, o hacia atrás, e incluso quedarse estático en un punto fijo. Sin embargo, el tiempo es una dimensión que tiene un sentido preferencial (sólo se puede recorrer hacia delante, ni siquiera podemos quedarnos estáticos). Esta gran diferencia física va a ser el origen de todos los desvaríos que siguen a continuación.

La onda está atrapada entre dos instantes de tiempo. Al igual que una onda estacionaria normal no existe fuera del espacio donde está confinada, una OET tampoco existiría fuera del tiempo donde está confinada, ni antes, ni después.

Una OE normal tenía una periodicidad en el tiempo: con una frecuencia nf0, el valor de la perturbación tomaba el mismo valor en un punto x dentro del confinamiento. Ahora en cambio, la periodicidad está en el espacio, lo que quiere decir que a una distancia 0, en el mismo instante de tiempo dentro del confinamiento, la perturbación toma el mismo valor. No existe confinamiento en el espacio, lo que quiere decir que en un momento dado, la periodicidad se extiende hasta el infinito.

Si interpretamos las OETs como ondas viajeras en sentidos inversos del tiempo, habría que imaginar la siguiente situación:




Toma el modo 1 de vibración dentro de un tiempo de confinamiento T, con longitud de onda λ0=2TV. En el tiempo T se recorre una distancia λ0/2. Entonces, en el momento t=0, salen simultáneamente de todos los puntos del espacio múltiplos de λ0/2 entre (- infinito) e (infinito), una onda viajando de t=0 a t=T (línea roja), y también una onda viajando de t=T a t=0 en el mismo sentido del espacio que la anterior. Sin embargo, nosotros sólo podemos viajar hacia delante en el tiempo, por lo que esa onda se nos aparecería como una onda viajando hacia atrás en el espacio, pero hacia delante en el tiempo (línea azul).

Pausa dramática para asimilar esta revelación

Al avanzar en el sentido positivo del espacio, y en sentido negativo del tiempo, la velocidad V=x/(-t) es negativa, es decir, viaja en sentido opuesto, que es igual que viajar en el sentido negativo del espacio, y el positivo del tiempo V = (- x)/t = x/(-t).

Estos viajes espacio-temporales harían interferir las ondas y crear ondas estacionarias.

Cuando creamos una perturbación o condición inicial, se puede llenar todo el tiempo del confinamiento, pero estamos limitados a producirla en un lugar concreto del espacio. La información no puede viajar más rápido que la luz, y tratándose de sonido, viaja a la ridícula velocidad de 340 m/s en el aire. Para aceptar esta hipótesis, se requiere otra suposición extraordinaria más: ¡¡Transmisión instantánea de la información!!

Otra pausa dramática para poner cara desencajada




Esta gráfica representa una onda estacionaria en el tiempo, en función de x y t. Tanto en una OE como en una OET, si nos quedamos en un punto fijo dentro del confinamiento, y observamos cómo varía la presión en una onda de sonido con el tiempo, dependiendo del lugar exacto donde estuviéramos, observaríamos oscilaciones con mayor o menor amplitud (como las curvas azules del gráfico en x=10 y x=25). Incluso podría ser nula todo el tiempo si nos colocamos en uno de esos puntos donde se crean las ondas (sería la situación de la línea azul en x=50, en x=0 y x=100), como si no hubiera oscilación.

¿Cómo diferenciar una de otra al registrarlas si producen el mismo fenómeno? La OE se observaría por tiempo indefinido, mientras que para la OET sólo habría oscilaciones durante el tiempo T, pasado el cual, no habría más, debido a que nos habríamos salido del rango temporal del confinamiento.



Onda estacionaria normal

Onda estacionaria temporal


Una frecuencia de 2 hz sería la frecuencia fundamental de una OET confinada en un rango temporal de T=1 segundo. Si quisiéramos registrar una OET de 2 hz, deberíamos hacerlo dentro de ese segundo posterior a la emisión del sonido. Fuera de ese tiempo la onda estacionaria temporal no existe. Si estuviéramos en el instante del tiempo correcto, y registráramos tal señal, tan sólo podríamos registrar vibraciones durante un segundo, para desaparecer pasado ese tiempo. Para el primer modo de vibración, veríamos sólo media oscilación. Para el modo 2, se vería 1 oscilación... en general, para el modo n, se registrarían n/2 oscilaciones. Con una onda estacionaria normal, se registrarían infinitas oscilaciones.

2 hz no es un sonido audible. Fijémonos en el rango audible (20 - 20.000 hz) para luego centrarnos en las psicofonías: a 20 Hz, disponemos de un tiempo de 0.025 segundos, y para 20.000 hz, el tiempo es de 0.000025 segundos. La OET existiría en todo el espacio, incluido donde se encuentra nuestro oído, por lo que sería audible, simultáneamente a su emisión, durante esos tiempos tan cortos. Fuera de ellos, sería imposible oír nada. Pero sin embargo, la experiencia nos dice que los sonidos lejanos se escuchan con retraso, y más allá de esos tiempos, lo que indica que la onda no está confinada, sino que viaja ¿Qué quiere decir esto?

1- No existe ningún mecanismo que cree ondas estacionarias en el tiempo, y nuestra hipótesis es más falsa que un duro de 6 pesetas. (Mucho más que probable)

2- Existe un mecanismo desconocido por el que una onda puede quedar atrapada en el tiempo, pero sólo una parte ínfima del sonido que no llega al umbral mínimo para ser oída, dejando viajar al resto de la onda como cualquier otra, que es la que se oye. (Un clavo ardiendo)

3- Existe un fenómeno desconocido y caprichoso, por el que una onda puede quedar atrapada en el tiempo, pero que es imposible encontrárselo (¡Pero existir, existe, y quien no se lo crea es un pirómano de nuevos Galileos, y que me demuestren científicamente que no existe!) (Un clavo pseudocientífico)

Pasando de puntillas por este pequeño problema, y al margen de la existencia o no de este tipo de ondas, lo que sí se puede concluir rotundamente es que sería imposible registrar psicofonías, consideradas como ondas atrapadas en el tiempo, porque para grabarlas es necesario que el micrófono esté en un rango de tiempo muy cercano al origen del sonido. Se grabaría el sonido viajero "normal", en todo caso, superpuesto a la onda estacionaria, de una perturbación simultánea al proceso de grabar. Si de investigar sucesos con gran carga emotiva (sic) acaecidos tiempo atrás se trata, es más productivo interrogar al mayordomo. Esta hipótesis no es válida para explicar el origen de una psicofonía.

Aunque la anterior es la que se siempre se sobreentiende, hay otra hipótesis sobre qué es una psicofonía que dice que son producidas por voces acompañantes (sea eso lo que sea). Si imaginamos que esta voz acompañante es la que genera los sonidos que quedan atrapados en el tiempo, en el momento que justo para que el micrófono lo registre ¿Se podría registrar una voz sin que la oyera el investigador de turno?

Tampoco. La onda estacionaria temporal existe simultáneamente en todo lugar del espacio, por lo que debería ser oída. Si nos ponemos en el caso 2, en el que sólo una pequeña parte de la onda queda atrapada, mientras el resto viaja normalmente, también debería ser oída, esta vez como onda normal y corriente. Incluso si el sonido es tan tenue que no llega al umbral mínimo para ser oído, una grabadora muy sensible registraría el sonido original viajero, que sería mucho más intenso que el atrapado. La hipótesis de que las psicofonías serían debidas a voces acompañantes que emiten sonidos atrapados en el tiempo tampoco se sotiene, además de haber introducido complicaciones sin justificación sólo para intentar hacer cuadrar desesperadamente la hipótesis.

Por si fuera poco lo ya dicho, vamos a considerar un tiempo de T=1 segundo, donde caben, además de la frecuencia fundamental de 2 hz, sus armónicos. Ya habíamos visto que los modos de menor frecuencia se veían favorecidos al iniciarse la perturbación.



He aquí un espectro de sonido de Chiquito de la Calzada diciendo aquello de "Al ataqueee". En vertical, la frecuencia de 20 a 5500 hz. En horizontal, el tiempo. El color azul significa que la amplitud de esa frecuencia en ese momento es pequeña, y los colores amarillo, naranja y rojo indican una amplitud mayor.

Las frecuencias más significativas están entre los 400 y 1000 hz. Para T=1 segundo (f0=2 hz), esto equivale a los armónicos n=200 y n=500. Respecto al modo fundamental, a estos modos les costará entre 40.000 y 250.000 veces más energía crearse que a los de baja frecuencia. Por otro lado, las ondas que quedan atrapadas son de frecuencias fijas. En cambio, la entonación de la voz, palabra o frase, las vocales y consonantes, como se ve en el espectro, producen variaciones de las frecuencias del sonido. Si se registrara algo, sólo sería un sonido monótono. Nada de palabras ni frases.
Habría alguna forma más de colocar parches a la hipótesis para intentar sostenerla. Pero con unos cimientos que se tambalean cada vez más, lo mejor es pasar a otra cosa.

Muchas preguntas, ninguna respuesta

Este modelo teórico, incluso si fuera correcto, no da respuesta a lo que se está buscando: no sería posible grabar psicofonías, entendidas como ondas atrapadas en el tiempo, o (rizando el rizo en la busca desesperada de un resultado positivo) voces acompañantes que producen sonidos atrapados en el tiempo. Pero lo peor es que surgen nuevas preguntas, mucho más complicadas de resolver, porque esta afirmación lleva ocultas una serie de suposiciones que ya hemos mencionado, y que hay que asumir obligatoriamente para sostener la hipótesis:

1- Existe un mecanismo (desconocido) por el cual una onda, o parte de ella, es enviada hacia atrás en el tiempo.

2- Es posible viajar en el sentido inverso del tiempo.

3- La transmisión de información es instantánea

Las suposiciones son bastante extraordinarias, como no podía ser de otra forma. Y nos lleva a preguntas más extraordinarias aún, más del mundo de Mari Pili Piruleta que de éste.

Para empezar, hemos supuesto que existe un mecanismo (desconocido) que envía una onda hacia atrás en el tiempo. Igual que para ondas estacionarias normales una pared, o el final de la cuerda suponen el rebote de la onda, es obligatorio suponer un mecanismo similar para nuestro caso. ¿Pero qué mecanismo sería este y cuando actúa? En caso de existir, hemos tan sólo deducido que sólo afecta a una parte de la onda, de tan poca intensidad que no puede ser oído, dejando viajar normalmente al resto de la onda.

Además, esta onda estacionaria temporal existiría en todo el espacio conocido ¿Podría hablar con mi tío Eustaquio, que vive en Australia, sin moverme del sillón y sin llamar por teléfono?

Más profunda es la suposición de que se puede recorrer el tiempo en sentido inverso. Hay gente investigando en la posibilidad de viajar a un tiempo pasado, pero todas las hipótesis pasan por llegar allí viajando hacia delante en el tiempo. Es como una persona que viaja permanentemente en dirección Este, la final llega al mismo punto de partida tras dar una vuelta completa a la Tierra. El problema es similar: dar la vuelta al tiempo, yendo siempre en sentido de avance. Pero lo que no hay son indicios de poder viajar en el sentido inverso del tiempo, que es lo que estaría realizando nuestra OET. Es un tema de física fundamental, acerca de la flecha del tiempo y la entropía del universo.

¿Existirían ondas viajando hacia atrás en el tiempo, sin estar atrapadas? ¿Podríamos oír sonidos del futuro, o palabras que se oirían como un disco al revés? ¿Y si eliminamos la fuente de sonido antes de que suene?

¿Y que pasa con la transmisión instantánea de información? ¿Qué hacemos con la teoría de la Relatividad?

En resumen, no se halla ninguna respuesta a nuestro problema, y sí surgen preguntas sin ninguna prueba o dato que indique que es necesario preguntárselas. Es complicar innecesariamente la teoría. Si uno tiene tiempo de sobra para perder, puede entretenerse en buscar respuestas, sólo por el placer de ejercitar la mente. Si en cambio ese alguien prefiere hacer algo productivo, es mejor que use la navaja de Occam y la papelera más cercana.

Estimado experto en TCI:

(Que alguno habrá que nos lea)

Sin siquiera levantarnos de nuestro sillón, hemos podido hacer una afirmación extraordinaria, que de ser cierta requeriría revolucionar la ciencia (¿viajar en el tiempo en sentido inverso? ¿Transmisión instantánea de información?), y llegar a la conclusión de que es más que probable que no sea válida, dado que no existe actualmente ninguna evidencia de que algo así ocurra, y sí hay teorías contrastadas (e incluso la experiencia) que nos contradicen. Y aún en el supuesto de ser cierta, hemos concluido que no podría ser la causante de inclusiones psicofónicas. Conclusiones que no son de negar por negar por parte de un malvado científico de bata blanca, negativista, comeniños y pirómano, apoltronado en el cómodo sillón de su torre de marfil, sino de desarrollar la afirmación, e interpretar los resultados.

Ya ve, sin usar grabadoras ni cámaras de fotos y sin hacer una licenciatura de "Investigador en Misterios Paranormales". Sólo lápiz, papel, y un poco de malvada ciencia oficial. Y lo que nos hemos ahorrado en gasolina, ni le cuento.

Si me argumenta que lo que entendemos aquí por onda atrapada en el tiempo no es correcto, sino una auténtica estupidez, me permito sugerirle que nos encantaría ver un estudio con un rigor como mínimo similar al presentado aquí (que no es mucho, se puede hacer mejor), y con la deducción de consecuencias y conclusiones pertinentes de si podría ser posible o no.

¿Qué hace un paranormalólogo después de soltar una de sus afirmaciones? Coge una
grabadora. ¿Por qué no elabora y desarrolla la teoría que se puede deducir de la afirmación para ver si al menos no va desencaminado? Desconocimiento sin intención de aprender, o peor aún, conocimiento de lo que dice.

En el próximo capítulo...

Aunque una persona mínimamente razonable hubiera tirado a la basura nuestra hipótesis de la onda estacionaria temporal, vamos a ver cómo se podría diseñar un experimento específico para intentar probar su existencia. No cambien de canal

[Introducción][Parte I][Parte III]

14 comentarios:

Macías P. dijo...

Por alguna razón no puedo ver las imágenes, incluidas las ecuaciones. De todas formas, y aún a riesgo de parecer un pelota, me ha parecido muy interesante la idea. La duda que tengo es si la afirmación de "Ondas atrapadas en el tiempo" indica tu hipótesis, o en todo caso si es una interpretación tuya.

Macías P. dijo...

Vale, ya lo pillo. Las imágenes están en Geocities. Habrá que esperar una hora.

Anónimo dijo...

Coño, ta buena la teoria. Pero hay un lamentable error amigo gluonconleche. ¿Te has preguntado que el investigador de psicofonias no sabe una papa de matematicas y ademas le importa un huevo no saberlas?

Julio dijo...

Macías
La interpretación efectivamente es mía propia y personal, (y asi lo digo) que no creo que tenga nada que ver con lo que suponen los paranormalólogos. Pero no por ello deja de ser bastante extraordinaria (sobre todo viendo las suposiciones que implican). La idea era analizar una idea así, da igual la que fuera.

Por si no ves las ecuaciones:
(1) y(x,0)=y(x,T)=0
(2) sen(2·pi·x·n/λ0)sen(n·pi·t/T)
(la estoy escribiendo de memoria, creo que están bien)

Anónimo
Si, y exactamente esa es la idea que me gustaría que sacaran los creyentes que lean esto: que los gurús no tienen ni idea y no les interesa aprender (lo cual es la peor forma de ignorancia posible). Que vean que es posible estudiar con rigos esos fenómenos, y que de científicos tienen lo que yo de cura.

jose dijo...

Una onda podría estar atrapada en una singularidad subatómica, donde el tiempo no pasa. No podría notarse porque tendría muy poca masa. La psicofonía estaría bordeando su enano horizonte de sucesos, pero el mínimo roce con una molécula de aire hace que la onda se propague hacia fuera.

Lamentablemente esta idea es aún más estrafalaria y absurda que la que propone Julio. De hecho juraría que Paulino me ha poseído (hombre, tampoco hay que exagerar)

Anónimo dijo...

Hau una forma mucho mejor de atrapar "ondas en el tiempo", y un ejemplo análogico muy claro lo tienes mirando los surcos de un disco de vinilo.
Eso al margen de esa pantomima de análisis que has hecho.

Julio dijo...

Esa forma de "atrapar" ondas no tiene gracia ni misterio. Buscamos un hipotético fenómeno nuevo desconocido.

Repito que la afirmación en sí es lo de menos. La idea era coger una que fuera extraordinaria (o estúpida, que para el caso es lo mismo) , ver que se puede "pasar por la batidora" de las matemáticas,y que se pueden sacar conclusiones. Cosa que no hacen nunca los paranormalólogos, pero que reclaman cambiar la malvada ciencia oficial comeniños y pirómana.

Que se puede hacer mejor y con más rigor, sí. Pero no hubiera simplificado tanto, habría llenado esto de fórmulas, y tampoco era plan. Te invito a hacerlo tú, si te apetece.

Julio dijo...

jose,
Por muy estrafalaria que sea, seguro que se puede estudiar de forma seria. Otra cosa es que el resultado tenga sentido.

Vigila tus amistades :D
haber si hay que despaulinazarte, (el despaulinazor que lo despaulinice, buen despaulinizador será)

Hairanakh dijo...

¡¡¡¡Wowwww!!!! Esperaba algo espectacular, pero esto desborda mis previsiones :-)

Bueno, vamos al ataque:

- Supongo que los "expertos en TCI" (¿qué es eso?) ni siquiera habrán pensado en algo que se parezca a una teoría como esta. Imagino que es más "intuitivo" pensar en ondas confinadas en algún lugar del espacio (una cavidad resonante perfecta-maravillosa sin pérdidas) o algo así.

- ¿Es preciso que la perturbación se expanda instantáneamente a todos los lugares del espacio? ¿No se le pueden poner más restricciones?

- Intuyo que uno podría enfrentarse a lo de "viajar hacia atrás en el tiempo" teniendo en cuenta que no hay información "de vuelta". Algo parecido a lo de la velocidad de fase de las ondas electromagnéticas, que puede ser superior a la de la luz. El problema es que ahí chocamos con cosas de física básica (y profunda) que yo no domino ;-) Así que no puedo abundar mucho en esa hipótesis.

- ¿Tienen que ser ondas sonoras? Eso es poco "arcano". Las ondas electromagnéticas son mucho más "místicas" ;-) (ni siquiera se oyen...). O quizás sean nuevas formas de interacción de la materia. ¿Serán gravitones? ¿Explicarán los gluones las psicofonías?

....

Buen artículo. Me gustaría abundar en tu hipótesis, pero creo que no voy a tener tiempo.

Julio dijo...

h

Si, supongo que la idea de los "expertos" será más parecido a lo que dices tú. PEro igualmente se puede estudiar con algo de rigor.

Aunque yo haya hablado de ondas de sonido, en principio el resultado sería igual para cualquier otro tipo de onda, siempre que existiera el "mecanismo desconocido", que dependería del tipo de onda.

Bueno, si te animas a seguir divagando con la hipótesis, no te olvides de colocarme como co-autor en el correspondiente paper ;), que yo también quiero mi parte del Nobel

Macías P. dijo...

Bueno, ya veo las gráficas y lo veo tó. Al estar en Geocities y superar el ancho de banda, se deja de servir el documento hasta que transcurre un tiempo. De todas formas gracias por volver a escribirlo.

Angelito negro dijo...

Fantástica entrada. Para anónimo de ejemplo "analógico". ¿Lo de analógico es porque antes los ancianos tocadiscos eran eso, de señal analógica, o bien porque lamentablemente confunde analógico con análogo? Agradecería que nos desarrollase, como mínimo, una pantomima como la que usted crítica en sus escuetas palabras. Repito, fantástica forma de mostrar lo que significa una afirmación extraordinaria, y como rebatirla. Se agradece el trabajo tomado para hacerla.

José Ignacio dijo...

Amigo, te felicito por la tarea. Ya lo decían Asimov y Sagan: El hombre de la calle se ha alejado de la ciencia porque de Newton para acá no puede seguirle el paso...

Por eso gana terreno la seudociencia, porque es fácil de entender y no demanda el menor trabajo.

Saludos de Ignacio, el ingeniero.

Julio dijo...

Gracias

No había escuchado esa frase nunca, pero me parece realmente muy acertada, y también bastante autocrítica. Me la apunto! :)