La Sábana milagrosa: 3. La representación en 3D

Esta entrada forma parte de una serie dedicada a la Sábana Santa. Se recomienda leer las partes precedentes a ésta.

La sábana milagrosa:
0. Introducción
1. La formación de la imagen
2. Distorsiones en 2D
3. La representación en 3D
4. Apéndice: absorción de luz en un medio saturable

Anteriormente habíamos visto cómo una radiación emitida por un cuerpo necesita saltarse a la torera todas las leyes de la óptica para poder formar una imagen sobre una sábana. Hoy toca hablar de la tridimensionalidad de la imagen, o esa propiedad según la cual, al representar los niveles de “intensidad” (o de oscuridad) de la imagen en una tercera dimensión, la imagen parece ser coherente con el volumen de un cuerpo real. Esta característica la “descubrieron” John Jackson, Eric Jumper y Peter Schumacher (JJS) allá por los 70, con un sistema llamado VP-8 Image Analyzer. El VP-8 fue desarrollado por Peter Schumacher. Y nadie como él mismo nos puede contar cómo funcionaba este cacharro. Lo tienen por escrito [.pdf], y en video [.wmv] (ambos en inglés)

Una foto de la Sábana Santa se colocaba en el aparato. Una cámara de video tomaba una imagen, la electrónica analizaba la intensidad de luz en cada punto de la imagen, y le asignaba un cierto valor. Estos valores se representaban en una pantalla, en una gráfica tridimensional donde los ejes x e y corresponden a las dimensiones de la fotografía, y la coordenada z al valor de luminosidad asignado.

Muy importante: la asignación que hacía el VP8 era del tipo “lineal” o “proporcional”, palabras que vienen a significar lo mismo: dados dos niveles de luminosidad cualquiera, la relación entre ellos guarda la misma proporción que la relación entre las alturas z asignadas. O en palabras de Schumacher:

Un cambio del 10 % en el nivel de intensidad entrante, produce un cambio en la elevación del 10% en el eje Z. Es una función directa, lineal.

Este trabalenguas se puede resumir en una gráfica: si en el eje horizontal ponemos los niveles de grises, y en el eje vertical la altura z que le corresponde, la gráfica que resulta es una recta:

Si nos fijamos en la recta morada, por cada dos cuadritos que se avanza en horizontal, se sube uno en vertical. Si en vez de 2, avanzamos 4 cuadritos en horizontal (el doble), entonces en vertical en vez de uno, son dos cuadritos (también el doble) lo que asciende la recta. En ambos casos la relación entre la altura ascendida, y la distancia en horizontal es la misma, y ese valor se denomina constante de proporcionalidad

Entonces, proporcionalidad (o linealidad) significa que las variables se relacionan por una recta. El parámetro a es la constante de proporcionalidad, que establece cual es esa “proporción”, es decir: “cómo de empinada” es la recta. El parámetro b no afecta a la proporción (“no afecta a la pendiente de la recta”). Por eso el primer parámetro es el importante, mientras que el segundo se puede ignorar la mayoría de las veces. Dos rectas con el parámetro a idéntico, pero distinto valor de b, representan la misma relación de proporcionalidad.

Bueno, ya conocemos (y entendemos, o eso espero) un dato importante: el VP-8 relaciona el nivel de gris y altura a través de una recta. Pero, ¿qué recta exactamente? Existen infinitas rectas, pero sólo una debería ser la correcta. Cuando se desarrolla una hipótesis para relacionar dos variables de forma proporcional, primero se deduce (o se asume justificando por qué) que tal relación es una recta. Luego, se calcula la constante de proporcionalidad a. Finalmente, se hace un experimento para comprobar:

1- Que las variables se relacionan a través de una recta
2- Que la proporción coincide con la calculada

Si el resultado es una recta, hemos demostrado que la mitad de la hipótesis es correcta, y la teoría va por buen camino. Si además coincide (dentro del margen de error) con la proporción, la hipótesis ha pasado todo el test. Si no, habrá que volver atrás y modificar algún punto de la teoría para calcular de nuevo el parámetro a, sin desechar la hipótesis aún. Pero si la gráfica ni siquiera es una recta, entonces habrá que hacer uso de la papelera, empezar desde el principio, y suponer otro tipo de relación no proporcional.

¿Qué ocurre en el caso de la Sábana Santa? Que no sabemos cómo se relacionan los valores de intensidad y altura. JJS metieron la imagen en el analizador. El analizador formó una imagen 3D basándose en sus propias reglas de proporcionalidad, y los tres creyeron entonces que la intensidad de la imagen se relacionaba con la altura o topografía del cuerpo.

Es decir, hicieron una observación experimental, pero no existe ninguna razón para pensar que esa observación deba de ser correcta, ni nadie ha comprobado si esa observación tiene que ser correcta. Simplemente, se ha asumido sin más. La relación entre intensidad y altura no tiene por qué ser lineal. Y si lo fuera, no sabemos qué parámetros de la recta son los correctos para hacer la comparación. Tanto el VP-8, como la mayoría de programas actuales y más modernos que representan en pseudo3D, pueden variar arbitrariamente la constante de proporcionalidad: tienen un “botón” que modifica la pendiente de esa recta. Y se puede modificar hasta conseguir que la imagen aparente estar bien proporcionada: que el tamaño de la nariz en vertical esté proporcionado con respecto al tamaño de la cabeza, por ejemplo.

Dos imágenes cambiando los parámetros de la recta que relaciona altura con intensidad: no todos los valores dan lugar a una imagen que parezca coherente con el volumen de un cuerpo en 3D.

Quizás algún malvado escéptico comeniños y amante de la barbacoa vea en esta arbitrariedad una justificación para tirar por tierra las conclusiones del trío JJS. Pero no es así necesariamente. Es perfectamente válido ajustar arbitrariamente ese parámetro hasta obtener la imagen lo más proporcionada posible. El problema es que aún faltaría la mitad del trabajo, que es comprobar que la relación proporcional debe ser correcta, darle un sentido a esos parámetros a través del desarrollo de una hipótesis, y comprobar que los valores obtenidos no sean absurdos dentro de esa hipótesis.

Esos parámetros podrían dar información que seria relevante, por ejemplo, para entender la naturaleza de la presunta radiación, pero sin hipótesis, no dejan de ser unos simples números sin sentido.

Esto legitima a emplear idéntica arbitrariedad a cualquier otra imagen para demostrar que un dibujo también puede presentarse en pseudo3D con unas proporciones aparentemente aceptables, pudiendo refutar así el argumento de que la tridimensionalidad de la Sábana Santa es un fenómeno único, y no reproducible de cualquier otra forma, en ningún tipo de fotografía, imagen, dibujo, etc….

De esta forma, que el ajuste “a mano” sea arbitrario, o qué valores son los correctos, tiene una importancia relativa. Lo realmente prioritario es saber si la relación entre altura e intensidad y viceversa es o no proporcional, y es lo que vamos a discutir a continuación. JJS justifican la relación entre intensidad de la imagen en la sábana y topografía del cuerpo, en que al hacer la representación el cuerpo aparece una forma que básicamente es un cuerpo real. Es decir, han obtenido la topografía original sin distorsiones ni desproporciones en la tercera dimensión, y por tanto, concluyen que los niveles de intensidad tienen “codificados” la topografía de un cuerpo que fue envuelto con la sábana. En particular, Schumacher se maravilla de que por ejemplo la nariz aparezca con una “rampa”, como lo haría cualquier otra nariz. O las formas de brazos, piernas, pecho...

Cuando se activó el modo de imagen pseudo-tridimensional, una imagen “tridimensional verdadera” apareció en el monitor. Al menos, había suficientes trazas de una estructura tridimensional real en la imagen mostrada. La nariz hacía rampa en relieve. Las características faciales estaban apropiadamente contorneadas. Las formas del cuerpo de brazos, piernas, y pecho tenían la forma básica humana.
P. Schumacher

Nota: Schumacher está hablando originalmente de la topografía de un cuerpo. Otros sindonólogos posteriormente hablan de la distancia entre la sábana y el cuerpo.

Para esta conclusión, se parte de la sábana y se genera una imagen en 3D, pero no se confronta a lo que sería el proceso de formación de la imagen partiendo de la topografía de un cuerpo para llegar a una sábana con una imagen en ella. Les faltó comprobar si “la otra mitad” de la historia era coherente con su observación: que un cuerpo envuelto en la tela dejaría los niveles de intensidad que observan.

Esa otra mitad del proceso es en realidad lo que los sindonólogos llaman su “hipótesis sobre la formación de la imagen”, de la que ya hablamos en la primera parte. Así que nada como poner a prueba si esa hipótesis produce resultados coherentes con la afirmación de la tridimensionalidad.
La formación de la imagen no es algo tan simple como “sale una radiación y deja su imagen en la sábana”. En realidad, es un proceso que consta de varios pasos. A cada paso lo vamos a llamar “transformación”. Cada una de estas transformaciones parten de una función de entrada, que es transformada con unos parámetros de control, y que finalmente proporciona una función de salida, que a su vez puede servir de función de entrada de la siguiente transformación. El resultado final del conjunto de todas estas “transformaciones” es lo que lo que JJS meten en el VP8, que aplica su propia transformación, que tiene como función de entrada los niveles de grises de la imagen, como control los parámetros (ajustables por el usuario) de una recta que relaciona los grises con altura, y como función de salida la altura o topografía del cuerpo en 3 dimensiones.

En realidad, el VP8 está recorriendo el mismo camino, pero en sentido inverso y de un solo paso: parte de los niveles de grises, y los transforma para obtener la topografía del cuerpo; y lo que vamos a hacer nosotros es partir de la topografía para llegar a los niveles de grises en varios pasos, usando las hipótesis de los sindonólogos. El VP8 está haciendo pues una transformación inversa al proceso de formación de la imagen.

A todos debería resultarle intuitiva la idea de que si aplicas una transformación, y luego su inversa, se obtiene el original sin modificación alguna:

- Si multiplicamos una función por un número k, basta hacer la operación inversa (dividir por ese mismo número k, o equivalentemente, multiplicar por el inverso del número, 1/k) para obtener la función original.

-Si elevamos una función al cuadrado, basta con hacer la raíz cuadrada (la inversa del cuadrado) para obtener la original.

-Si a una función le aplicamos un logaritmo en base 10, basta aplicar la inversa del logaritmo (la potencia de 10) para obtener la función original.

Al asumir que la imagen generada a través del VP8 es correcta, los sindonólogos están asumiendo que la transformación correcta es que la altura (z) es proporcional a la intensidad (I), es decir,

z(x,y)=k•I(x,y)

donde k es el parámetro de proporcionalidad, que hace la transformación entre las funciones I y z

Ya hemos dicho cual es la transformación inversa de una multiplicación: La división. Basta entonces dividir por el mismo número k para obtener la transformación inversa I=z/k, o lo que es lo mismo, una relación en que la intensidad I es proporcional a z, a través del número (1/k):

I(x,y)=(1/k)•z(x,y)

.

La transformación inversa de una transformación lineal, es otra transformación lineal

Por tanto, si se asume que una transformación lineal representa correctamente la topografía del cuerpo a partir de los niveles de grises de la imagen, entonces, el conjunto de las transformaciones necesarias para que, partiendo de la topografía del cuerpo se consiga la imagen en la sábana con esos niveles de gris, debe ser también lineal.

Nota: No estamos diciendo que todas y cada una de las transformaciones individuales deban ser lineales, sino que el conjunto de todas ellas lo sea.

Vayamos repasando las transformaciones una a una. Es complicado tener un modelo de un cuerpo entero, por eso sólo vamos a ver cómo todas estas transformaciones afectan a un perfil de una cabeza (aprovechando el modelo que propone el sindonólogo Mario Latendresse).


El perfil de la cabeza se representa por una función z(x), que a cada punto x le asigna un valor de altura z. La hipótesis que sostienen los sindonólogos es que el cuerpo emite una radiación sólo en vertical. Esta radiación sale de cada punto del cuerpo con una intensidad que depende del ángulo que una recta perpendicular a la superficie del cuerpo hace con la dirección vertical, en la cual se propaga la radiación (es la ley del coseno “sindonológica”). Entonces, nuestra primera operación consiste transformar la función del perfil z(x) en una función de intensidad I(x) de una radiación que emite el cuerpo en cada punto x. Para ello, primero se calcula el ángulo que la superficie de la cara hace con la vertical, y después su coseno.



La siguiente transformación tiene que ver con la propagación de la radiación. Al viajar desde el cuerpo hasta la sábana, según los sindonólogos la radiación pierde intensidad con la inversa del cuadrado de la distancia, algo llamativo que ya discutimos largo y tendido en la primera parte.

La transformación ahora, parte de la intensidad de la radiación en el cuerpo obtenida en el paso anterior, se tiene en cuenta la distancia entre la sábana y el cuerpo, y se transforma según la inversa del cuadrado de esta distancia:



Vamos por la tercera. Es la Ley del Coseno (la de verdad, la de Lambert). La superficie de la sábana hace un ángulo con la dirección vertical. Esto se traduce en que la radiación que va a ser capaz de absorber la tela, depende del coseno del ángulo que forma una línea perpendicular a la sábana, con la vertical. Así, primero se necesita calcular tal ángulo, y posteriormente, su coseno, para transformar la intensidad que llega a la sábana tras su propagación:



En realidad, no está claro si los sindonólogos tienen en cuenta esta ley o no (deberían hacerlo). Lo que sí está claro es que la conocen, ya que por ejemplo Giulio Fanti la describe en alguno de sus artículos. En todo caso, no hace mucha diferencia, como puede observarse.

Por último, queda otra transformación: los fotones de luz son absorbidos por moléculas de las fibras de la sábana, que sufren una reacción química (al parecer, se deshidratan). Esta deshidratación es la que produce el oscurecimiento, y la aparición de la imagen. Cómo depende el oscurecimiento de la cantidad de fotones que llegan a la sábana, es algo largo, farragoso, curioso e interesante de contar, que he dejado para el apéndice. Allí se justifica que la relación entre intensidad y oscurecimiento sea de tipo “sub-lineal”, que hemos usado para producir este resultado:


Llegando pues al perfil de intensidad final.

Si analizamos los pasos intermedios, vemos que no hay ninguno que sea una transformación lineal. En todo caso, los que más se acercan son, por un lado, el tercer paso (ley del coseno de Lambert): el modelo de la sábana son varias rectas. En cada una de estas rectas, el ángulo que forman con la vertical es constante, y por tanto su coseno también. Por lo que aplica una transformación “lineal a trozos”, con distintas constantes de proporcionalidad según el trozo considerado.

Y el último paso también se acerca a la linealidad. En realidad, podría no ser así. Si la cantidad de fotones que llegaran fuera muy elevada, se llegaría a producir una “saturación”. Sin embargo, los sindonólogos dicen que tal saturación no está presente en la sábana. Y eso hemos tenido en cuenta a la hora de simular transformación, lo que da una transformación que se acerca a la proporcional, aunque no lo sea. Por eso estos dos últimos pasos no varían demasiado el perfil de intensidad entre el entrante y el saliente.

Realmente, la transformación que más influye es la segunda: la propagación de la luz (intensidad inversamente proporcional al cuadrado de la distancia)

Pero lo importante, como hemos dicho, es la transformación total: cómo se ha transformado la función inicial z(x) en la función final I_a(x). A simple vista, se pueden comparar el perfil de altura original, y el perfil de intensidad final. Y ver que no guardan las proporciones entre ellas. Por ejemplo, la diferencia de altura entre la frente y la cuenca del ojo, es mucho menor que la diferencia de altura entre la barbilla y el cuello. Sin embargo, en el perfil de intensidad, estas dos alturas son prácticamente iguales: No se han guardado las proporciones, la transformación no ha sido proporcional.

Por mostrarlo de forma más analítica, la idea de proporcionalidad es que una función es idéntica a la otra, excepto por la multiplicación de un parámetro constante que hace guardar las proporciones entre ambas funciones . Podemos entonces coger ambos perfiles, y dividirlos. Su resultado debería ser una constante, independiente de la variable x. Y al hacerlo, tenemos la confirmación de lo que se veía “a ojo”:

La intensidad no es proporcional a la topografía, porque el parámetro por el que hay que multiplicar la topografía no es una constante independiente de x:

Hemos comparado el perfil de una cabeza, según las observaciones de Jackson, Jumper y Schumacher. Otros sindonólogos dicen que la imagen no representa la topografía, sino la distancia entre sábana cuerpo.

Se puede comprobar que la intensidad final tampoco guarda las proporciones con la función distancia Sábana-Cuerpo (línea azul en la figura de la segunda transformación)

En realidad, existirían otras transformaciones que no hemos tenido en cuenta:

- Las distorsiones de tamaño que se producirían en la sábana, y que vimos en la segunda parte

- Hacer una fotografía de la sábana, generar el negativo, y de ahí producir la imagen positiva que se mete finalmente en el analizador de imágenes.

No tenerlas en cuenta es lo mismo que suponer que reproducen fielmente la función de entrada que tengan, sin deformaciones, distorsiones, ni desproporciones.

Así pues, a partir de la hipótesis de formación de la imagen, se llega a un resultado que no es coherente con la representación en 3D que hace el VP8. Las conclusiones posibles son,

- Una: si la imagen del VP8 es coherente con el volumen de un cuerpo, y si la imagen se produjo como sostienen los sindonólogos, entonces hay que concluir necesariamente que la persona de la sábana estaba deformada.

- O dos: admitir que al menos una de las dos proposiciones, o incluso las dos (“hipótesis de formación”, o “representación del VP-8 es correcta”) es errónea.

Por hacer más visual cómo la hipótesis sindonológica transforma una figura tridimensional en un nivel de grises de una tela, y cómo sería representado posteriormente en 3D, he aquí un ejemplo simple.

Un óvalo, cubierto por una “sábana” (con forma de parábola):

Al aplicar todos los pasos anteriormente descritos, se transforma tal que así:

Ahora, piensen en un cuerpo, con todos los detalles de la cara, brazos cruzando, etc… y una sábana adaptándose como buenamente puede al cuerpo.

Llegados a este punto, habría que recordar las palabras de G. Fanti, apelando a la navaja de Occam. ¿Realmente creen los sindonólogos que no hay que complicar las hipótesis innecesariamente? ¿Realmente creen qué hay que centrarse en las características más llamativas?

Pues un buen punto de partida lo tienen entonces el trabajo Image Formation and the Shroud of Turín, E.Craig. Journal of Imaging Science and Technology, Vol. 34 N.1 (1994), donde se propone que la imagen de la Sábana Santa se hizo con una técnica similar al dibujo al carboncillo, con alguna modificación. Sus resultados son al menos dignos de tener en cuenta:

- Requiere tecnología disponible en la edad media (e incluso anterior)

- Que sea una pintura o dibujo justifica que no haya grandes distorsiones en 2D, y las que hay sean atribuibles a la poca pericia del artista.

- Genera una imagen en 3D con al menos tan “forma humana básica” (P. Schumacher dixit) como la imagen de la Sábana Santa